第10章 专题10 相交线、平行线与平移中的数学思想（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦相交线、平行线与平移，通过方程、转化、分类讨论、从特殊到一般四种数学思想构建学习支架，从基础几何性质例题导入，逐步衔接复杂问题，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合具体例题渗透数学思想，如跨学科物理题培养数学眼光，分类讨论题发展推理意识，从特殊到一般题强化模型意识。采用例题解析与思想提炼结合的教学方法，学生能提升思维能力，教师可高效开展专题教学。

2026春季学期 《学练优》·七年级数学下·HK 第10章相交线、平行线与平移 专题10　相交线、 平行线与平移中的数学思想 思想一　方程思想 1. 如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4， 求∠α，∠D，∠B的度数. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：设∠α＝2x°，则∠D＝3x°，∠B＝4x°. 因为FC∥AB∥DE， 所以∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°. 所以∠2＝180°－4x°，∠1＝180°－3x°. 又因为∠1＋∠2＋∠α＝180°， 所以(180－3x)＋(180－4x)＋2x＝180， 解得x＝36. 所以∠α＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°. 2. 直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两 部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶5. (1)如图①，若∠BOD＝70°，求∠BOE的度数； 解：因为∠BOD＝70°，直线AB和CD相交于点 O， 所以∠AOC＝70°，∠BOC＝110°. 又因为∠AOE∶∠EOC＝2∶5， 所以∠COE＝70°× ＝50°. 所以∠BOE＝50°＋110°＝160°. 解：因为∠BOD＝70°， 直线AB和CD相交于点O， 所以∠AOC＝70°，∠BOC＝110°. 又因为∠AOE∶∠EOC＝2∶5， 所以∠COE＝70°× ＝50°. 所以∠BOE＝50°＋110°＝160°. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)如图②，若OF平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC ＋10°，求∠EOF的度数. 解：设∠AOE＝2α，∠EOC＝5α， 则∠BOF＝7α＋10°. 因为OF平分∠BOE， 所以∠BOF＝ ∠BOE＝ (180°－∠AOE)＝ (180°－2α). 所以7α＋10°＝ (180°－2α).解得α＝10°. 所以∠EOF＝∠BOF＝70°＋10°＝80°. 2 3 4 5 6 7 8 1 2. 直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两 部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶5. 思想二　转化思想 3. 跨学科 物理(2025·达州中考)如图，一束平行于主 光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长 线交于主光轴的焦点F. 若∠1＋∠2＝35°，则 ∠AFB的度数为(　A　) A. 35° B. 55° C. 70° D. 145° A 2 3 4 5 6 7 8 1 4. (1)夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上 过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图① 所示的长方形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为800m， 且桥宽忽略不计，则小桥的总长为 m. 400　 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)如图②，在长为50m，宽为30m的长方形地块 上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其他部分 均种植花草，则种植花草的面积是 m2. 1421　 2 3 4 5 6 7 8 1 5. (2025·合肥包河区期末)如图，将直角三角形ABC 沿BC方向向右平移得到直角三角形DEF，DE与 AC交于点H. 若AB＝8，DH＝3，阴影部分的面 积为26，求平移的距离. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：由平移的性质可知DE＝AB， S三角形ABC＝S三角形DEF， 所以S三角形ABC－S三角形HEC＝S三角形DEF－S三角形HEC， 即S梯形ABEH＝S阴影. 所以 (AB＋HE)·BE＝ (AB＋DE－DH)·BE＝S阴影. 因为AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26， 所以 (8＋8－3)BE＝26，解得BE＝4.所以平移的 距离为4. 所以 (8＋8－3)BE＝26，解得BE＝4. 所以平移的距离为4. 2 3 4 5 6 7 8 1 思想三　分类讨论思想 6. (2025·滁州期末)已知直线AB∥CD，点E是AB 上一点，点O是CD上一点，且∠AEO＝38°，作 OM⊥OE，ON⊥CD，求∠MON的度数. 解：根据题意有图①、图②两种情况： 2 3 4 5 6 7 8 1 图①中，因为AB∥CD，所以∠DOE＝∠AEO＝ 38°. 因为MO⊥OE，ON⊥OD，所以∠MOE＝ ∠NOD＝90°. 所以∠MON＝90°－(90°－38°)＝38°. 图②中，同理可知∠MON＝180°－38°＝142°. 综上，∠MON的度数为38°或142°. 图①中，因为AB∥CD， 所以∠DOE＝∠AEO＝38°. 因为MO⊥OE，ON⊥OD， 所以∠MOE＝∠NOD＝90°. 所以∠MON＝90°－(90°－38°)＝38°. 图②中，同理可知∠MON＝180°－38°＝142°. 综上，∠MON的度数为38°或142°. 解：根据题意有图①、图②两种情况： 2 3 4 5 6 7 8 1 7. 如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于点C，交l2 于点D，点P在直线CD上(不与点C，D重合).当 点P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3 之间的数量关系. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：分以下三种情况：(1)当点P在线段CD上运动 时， 如图①，过点P向左作PE∥l1.因为l1∥l2，所以 PE∥l2. 所以∠APE＝∠1，∠BPE＝∠3. 所以∠2＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠3； 解：分以下三种情况：(1)当点P在线段CD上运动 时， 如图①，过点P向左作PE∥l1. 因为l1∥l2，所以PE∥l2. 所以∠APE＝∠1，∠BPE＝∠3. 所以∠2＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠3； 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)当点P在l1上方运动时，如图②， 过点P向左作PF∥l2.因为l2∥l1，所以PF∥l1. 所以∠FPB＝∠3，∠FPA＝∠1. 所以∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1； (3)当点P在l2下方运动时， 如图③，过点P向左作PM∥l2. 因为l1∥l2，所以PM∥l1. 所以∠APM＝∠1，∠BPM＝∠3. 所以∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3. (2)当点P在l1上方运动时，如图②， 过点P向左作PF∥l2.因为l2∥l1，所以PF∥l1. 所以∠FPB＝∠3，∠FPA＝∠1. 所以∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1； (3)当点P在l2下方运动时， 如图③，过点P向左作PM∥l2. 因为l1∥l2，所以PM∥l1. 所以∠APM＝∠1，∠BPM＝∠3. 所以∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3. 2 3 4 5 6 7 8 1 因为AB∥CD， 思想四　从特殊到一般的思想 8. 如图，AB∥CD，∠ABE与 ∠CDE的平分线相交于点F. (1)如图①，若∠E＝80°，求∠BFD的度数； 解：(1)如图①，过点E向左作EG∥AB，过点F向 右作FH∥AB. 因为AB∥CD，所以 EG∥AB∥FH∥CD. 解：(1)如图①，过点E向左作EG∥AB， 过点F向右作FH∥AB. 所以EG∥AB∥FH∥CD. 2 3 4 5 6 7 8 1 所以∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝ 180°. 所以∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°. 因为∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°， 所以∠ABE＋∠CDE＝280°. 因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE. 所以∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°. 所以∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°. 因为∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°， 所以∠ABE＋∠CDE＝280°. 因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F， 所以∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE. 所以∠ABF＋∠CDF＝ (∠ABE＋∠CDE)＝140°. 所以∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)如图②，∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系，并说明 理由； 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相 交于点F. 解：(2)6∠BMD＋∠E＝360°.理由如下： 因为∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF， 所以∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM. 因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F， 所以∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM. 由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°. 所以6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°. 过点M向右作MN∥AB， 易证∠BMD＝∠ABM＋∠CDM， 解：(2)6∠BMD＋∠E＝360°.理由如下： 因为∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF， 所以∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM. 因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F， 所以∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM. 由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°. 所以6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°. 过点M向右作MN∥AB， 易证∠BMD＝∠ABM＋∠CDM， 所以6∠BMD＋∠E＝360°. 所以6∠BMD＋∠E＝360°. 2 3 4 5 6 7 8 1 (3)若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，设 ∠E＝m°，直接用含有n，m的式子表示∠M ＝ ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相 交于点F. $