10.1 第2课时 垂线及其性质（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“垂线及其性质”核心知识点，通过相交线中垂直条件判断、角度计算等问题导入，衔接已学相交线知识，搭建从概念理解到性质应用的学习支架，为后续平行线学习奠定基础。 其亮点在于采用分层练习设计，结合教材变式与安徽特色题型，通过折叠操作（如过点折垂线）培养几何直观，角度计算（如含α的表达式推导）发展推理能力，实际引水问题强化应用意识。学生能巩固基础提升能力，教师可高效开展分层教学。

2026春季学期 《学练优》·七年级数学下·HK 第10章相交线、平行线与平移 10.1　相交线 第2课时　垂线及其性质 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　垂线的概念及性质 1. 如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件：① ∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝ ∠BOD. 其中能说明AB⊥CD的有(　C　) 第1题图 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若∠AOC ＝120°，则∠BOD的大小为(　A　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 第2题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3. (2025·合肥蜀山区期末)如图，直线AB和CD相交 于点O，OM⊥AB，∠BOD∶∠COM＝1∶3，则 ∠AOD的度数为 ⁠. 第3题图 157.5°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. 如图，直线AB，CD相交于点O， OE平分∠AOC，OF⊥OE. (1)若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数； 解：(1)因为OE平分∠AOC，所以∠COE＝ ∠AOC. 因为∠AOC＝∠BOD＝40°，所以∠COE＝ ×40°＝20°. 因为OF⊥OE，所以∠EOF＝90°. 解：(1)因为OE平分∠AOC， 所以∠COE＝ ∠AOC. 因为∠AOC＝∠BOD＝40°， 所以∠COE＝ ×40°＝20°. 因为OF⊥OE，所以∠EOF＝90°. 所以∠DOF＝180°－∠EOF－∠COE＝ 180°－90°－20°＝70°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若∠BOD＝α，直接写出∠DOF的度数(用含α的 式子表示). 解：(2)∠DOF的度数为90°－ . 解：(2)∠DOF的度数为90°－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. 如图，直线AB，CD相交于点O， OE平分∠AOC，OF⊥OE. 知识点二　垂线(段)的画法与基本事实 5. 在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点 Q，并折出过点Q且与l垂直的直线.这样的直线能 折出(　B　) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. 教材P133练习T1变式如图，在三角形ABC中， ∠A为钝角. (1)画出自点A向BC所作的垂线AD； 解：(1)如图，直线AD即为所求. 解：(1)如图，直线AD即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)画出点B到直线AC的垂线段BE； 解：(2)如图，线段BE即为所求. 解：(2)如图，线段BE即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. 教材P133练习T1变式如图，在三角形ABC中， ∠A为钝角. (3)画出点C到直线AB的垂线段CF. 解：(3)如图，线段CF即为所求. 解：(3)如图，线段CF即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. 教材P133练习T1变式如图，在三角形ABC中， ∠A为钝角. 知识点三　垂线段最短和点到直线的距离 7. 如图，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，则线段BC的长可能是(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8. 如图AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离 为(　D　) A. 线段BD的长度 B. 线段AC的长度 C. 线段CD的长度 D. 线段BC的长度 第8题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. 如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l， 垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短.理由是 ⁠ ⁠. 第9题图 垂线 段最短　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. 如图，AC⊥BC于点C，D是线段BC上任意一 点，AC＝4，则AD的长不可能是(　A　) A. B. 4 C. 5 D. 10 第10题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 图形变式 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3， 则BD的长度可能是(　D　) 变式题图 A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 4.5 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 安徽特色 双空题(2025·芜湖期中)如图，直线 AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC. (1)若∠AOD＝α，则∠AOE＝ (用含 α的式子表示)； 180°－ α　 (2)若∠AOD＝76°，OF⊥CD，则∠EOF ＝ ⁠. 128°或52°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC ＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm. (1)点B到AC的距离是 cm，点A到BC的距离 是 cm； 4　 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)画出点C到AB的垂线段，并求它的长. 解：如图，作CD⊥AB于点D，则线段CD即为所 求. 因为S三角形ABC＝ BC·AC＝ AB·CD， 所以CD＝ ＝ ＝ (cm). 解：如图，作CD⊥AB于点D， 则线段CD即为所求. 因为S三角形ABC＝ BC·AC＝ AB·CD， 所以CD＝ ＝ ＝ (cm). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC ＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm. 13. (2025·池州期末)如图，直线AB， CD相交于点O，OM⊥AB. (1)若∠1＝∠2，判断ON与CD位 置关系，并说明理由； 解：(1)ON⊥CD，理由如下：因为OM⊥AB， 所以∠AOM＝90°.所以∠AOC＋∠1＝90°. 因为∠1＝∠2，所以∠AOC＋∠2＝90°， 即∠CON＝90°.所以ON⊥CD. 解：(1)ON⊥CD，理由如下：因为OM⊥AB， 所以∠AOM＝90°.所以∠AOC＋∠1＝90°. 因为∠1＝∠2，所以∠AOC＋∠2＝90°， 即∠CON＝90°.所以ON⊥CD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若∠1＝ ∠BOC，求∠BOD的度数. 解：(2)因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°. 所以∠BOC＝∠1＋∠BOM＝∠1＋90°. 因为∠1＝ ∠BOC，所以∠1＝ (∠1＋90°)， 解得∠1＝30°. 所以∠BOD＝180°－∠1－∠MOB＝60°. 解：(2)因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°. 所以∠BOC＝∠1＋∠BOM＝∠1＋90°. 因为∠1＝ ∠BOC， 所以∠1＝ (∠1＋90°)， 所以∠BOD＝180°－∠1－∠MOB＝60°. 解得∠1＝30°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. (2025·池州期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB. 14. 已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC. (1)如图①，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求 ∠MON的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(1)因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°. 因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠BOC＝60°， 所以∠AOC＝90°＋60°＝150°.因为OM平分 ∠AOC， 所以∠COM＝ ∠AOC＝75°.因为ON平分 ∠BOC， 所以∠CON＝ ∠BOC＝ ×60°＝30°. 解：(1)因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°. 因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOC＝60°， 所以∠AOC＝90°＋60°＝150°. 因为OM平分∠AOC， 所以∠COM＝ ∠AOC＝75°. 因为ON平分∠BOC， 所以∠CON＝ ∠BOC＝ ×60°＝30°. 所以∠MON＝∠COM－∠CON＝75°－30°＝ 所以∠MON＝∠COM－∠CON＝75°－30°＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)如图②，若∠AOB＝80°，∠MON∶∠AOC＝2∶7，求∠AON的度数. 解：(2)因为∠COM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC， 所以∠MON＝∠COM－∠CON＝ (∠AOC－ ∠BOC)＝ ∠AOB＝40°. 因为∠MON∶∠AOC＝2∶7，所以∠AOC＝140°. 解：(2)因为∠COM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC， 所以∠MON＝∠COM－∠CON＝ (∠AOC－∠BOC) ＝ ∠AOB＝40°. 因为∠MON∶∠AOC＝2∶7， 所以∠AOC＝140°. 因为OM平分∠AOC， 所以∠AOM＝ ∠AOC＝70°. 所以∠AON＝∠AOM＋∠MON＝70°＋40°＝110°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $