3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“切线的判定及三角形的内切圆”，通过生活实例如雨伞雨滴、砂轮火花导入，复习直线和圆的位置关系，结合旋转直线探究距离变化，构建新旧知识联系的学习支架。 以生活情境激发兴趣培养数学眼光，合作探究通过实验与作图发展几何直观和空间观念，典例对比不同证明方法提升推理能力，实际问题引入内切圆培养模型意识，当堂检测与中考链接助力巩固应用，提升学习效率。

第三章 圆 3.6 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 学习目标： 1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点) 2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点) 3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点) 自主学习 一、复习回顾 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：圆的切线的判定 合作探究 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时， （1） 随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？ 直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？ （2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ 知识要点 切线的判定定理 典例精析 例1 判断： (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) 做一做 已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线. 方法总结 典例精析 例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． 合作探究 思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. 知识点二：三角形的内切圆及内心 探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？ 例4 已知：△ABC. 求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切. 知识要点 这样的圆可以作出几个? 为什么? 知识要点 典例精析 例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°， 求 ∠BOC 的度数. 二、课堂小结 当堂检测 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） (5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. （ ） (7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. （ ） (8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （ ） 2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70° 链接中考 1.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 参考答案 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆的切线的判定 合作探究 ∠α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°， 点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r. 直线 l 与 ⊙O 先 相切 ，再 相交 ，最后又 相切 . 当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切. 典例精析 例1 答案：（1）× （2）× （3）× 做一做 已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线. 典例精析 例2 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. 例3 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 知识点二：三角形的内切圆及内心 例4 作法： 1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I . 2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 与三角形三边都相切 典例精析 例5 解：∵∠A = 70°， ∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°. ∵⊙O 是 △ABC 的内切圆， ∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线， 即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB. ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB) =180°- ×110° = 125°. 当堂检测 1. 答案：(1)× (2) ×(3) √(4)√ (5) √(6) √(7) √(8) √ 2. 答案：B 链接中考 学科网（北京）股份有限公司 $