2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“利用二次函数求方程的近似根”，引导学生掌握用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法，体会二次函数与一元二次方程的关系。通过复习回顾二次函数与x轴交点和方程根的关系搭建学习支架，衔接旧知与新知。 资料特色在于通过合作探究、计算器探索近似根及归纳总结方法，培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。习题结合中考题型，当堂检测强化应用，助力学生掌握重点难点，提升自主学习能力。

第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 学习目标： 1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点) 2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点) 自主学习 一、复习回顾 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 合作探究 1、 要点探究 知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗? 由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0有_____根， 一个根在____和____之间， 另一个根在____和____(填两个整数）. （1）先求－5 和－4 之间的根. 利用计算器进行探索： （2）另一个根可以类似地求出: 归纳总结 做一做 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根. 做一做 你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根吗？ 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 练一练 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1 知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的解集 合作探究 问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. 问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数， 那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ； 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根， 那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点； 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0；③ -x2+x+2<0. (2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0；③ x2-4x+4<0. (3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0. 归纳总结 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 链接中考 1. 二次函数 y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值 y＞0 时， x 的取值范围是( ) A．x＜-1 B．x＞2 C．-1＜x＜2 D．x＜-1 或 x＞2 二、课堂小结 当堂检测 1.根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 2.小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x = -3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 3.已知二次函数 y = x2 - 6x + 8 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 x2 - 6x + 8 = 0 的解是什么？ （2）x 取什么值时，y > 0 ？ （3）x 取什么值时，y < 0 ？ 参考答案 一、创设情境，导入新知 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗? x =－4.3 是方程的一个近似根. x = 2.3是方程的另一个近似根. 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤： ① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象； ② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； ③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计. 近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置. 做一做 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根. 解：x2 + 2x - 13 = 0 由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间. 一个近似根：－4.7；另一个近似根：2.7 做一做 你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根吗？ y = x2 + 2x - 10 和直线 y = 3 交点和横坐标 就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 练一练 1. 答案：B 知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的解集 合作探究 问题1： 答案：x1 = −1，x2 = 3； x < −1 或 x > 3； −1 < x < 3. 拓广探索： 答案：x1 = −2，x2 = 4； x < −2 或 x > 4； −2 < x < 4. 问题2： 答案：1；(2 ，0)；x1 = x2 = 2 问题3 解：① 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解. ② 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数. 试一试： 答案：(1) ①x1 = -1，x2 = 2；②-1＜x＜2；③x＜-1或 x＞2 (2) ① x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ 无解 (3) ① 无解 ② 无解 ③ x 为全体实数 归纳总结 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 a＞0 （1） （2） （3） （1）y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＜x1 或 x＞x2. （2）y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解. （3）y＞0，所有实数；y＜0，无解. a＜0 （1） （2） （3） （1）y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或 x＞x2. （2）y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解. （3）y＜0，全体实数；y＞0，无解. 链接中考 2.D 当堂检测 1. 答案：C 2. 答案：D 3. 解：（1）x1=2，x2=4； （2）x < 2 或 x > 4； （3）2 < x < 4. 学科网（北京）股份有限公司 $