精品解析：2026年甘肃武威市凉州区金羊九年制、中路中学中考一模数学试卷.

2026年中考一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 已知光速为300000000米/秒，则这个速度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相同，则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点 在轴上，若正方形的边长为3，则 点坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是边上的中线， ，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、 的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：① ；② ；③当 时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 12. 已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 13. 如图，在中， ，将绕点逆时针方向旋转，使点 的对应点在边上，点的对应点为，则________． 14. 如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 15. 若点，点均在反比例函数的图象上，且 ，则k的取值范围是________． 16. 如图，矩形的面积为24，对角线、交于点O．如果E、F、G、H分别是、、、的重心，那么四边形的面积是________． 17. 如图，在中，为的直径，弦，垂足为．若 ，且，则 ______． 18. 一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最多和最少相差______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于y轴成轴对称的； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）直接写出四边形的周长______ 20. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 21. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点 的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点 ，连接． （1）求证：平分； （2）若 ，求 的度数． 23. 如图，为的直径，交于点为上一点，连接并延长交于点M，点N是延长线上一点，连接， ． （1）求证：为的切线； （2）若 且，求的半径． 24. 已知直线过点，点为直线上一点，且点的坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点． （1）求k的值； （2）求 的面积． 25. 如图，四边形 为平行四边形，平分交于，延长 交于， （1）求证：． （2）若，求的值． 26. 交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速 ，在公路上方 高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为 ， 后在C处再次识别到这辆车，俯角为 ，已知此车辆车牌位于地面 高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据： ， ， ， ， ， ） 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点 ，求最大值及此时点坐标； （3）在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点 是轴上一点，点 是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知光速为300000000米/秒，则这个速度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：300000000用科学记数法表示为． 3. 在争创国家卫生文明城市的活动中，某市组织志愿者队伍对某工地重达100吨的建筑垃圾进行清除．开工后，附近居民主动加入劳动中，使清除行动的速度比原计划提高了，提前1小时完成了清除任务．设志愿者队伍原计划每小时清除x吨垃圾，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“工作时间工作总量 工作效率”，结合实际比原计划提前1小时完成任务，找到原计划时间和实际时间的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每小时清除吨垃圾，总重量为100吨． ∴原计划完成任务的时间为小时． ∵实际清除速度比原计划提高了， ∴实际每小时清除 吨，实际完成任务的时间为小时． ∵实际提前1小时完成任务，即原计划时间比实际时间多1小时， ∴可得方程． 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 5. 如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，利用半径相等得到等腰和 ，根据等腰三角形两底角相等求出和的度数，进而得到 的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算出 的度数． 【详解】解：如图，连接 ， ∵， ∴，， ∴， ， 故选：B． 6. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相同，则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：设 “智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别用A、B、C表示： 根据题意列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学抽到同款文创产品的结果数为3， 则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是． 7. 关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出的值，再代入计算三个点的纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ， ∵反比例函数经过，，三点， ∴，，， ∵， ∴ ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点 在轴上，若正方形的边长为3，则点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方形与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，可求出 ，设，则，可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴，且正方形的边长为， ∴， ∴ ， 设，则， ∴，解方程得，， 经检验是原方程的解， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，是边上的中线， ，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是边上的中线，， ， 在 中，， 在中，， 故， 故选C． 10. 如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：① ；② ；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，方程的解即为函数与交点的横坐标即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即 ，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又 ， ，即 ，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④由上知， ， ， ∴，而 ∴， ∴函数与有两个不同的交点， ∵方程的解即为函数与交点的横坐标， ∴有两个不相等的实数根，故④正确， ∴正确的有3个． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 12. 已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为 ，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 13. 如图，在中， ，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 14. 如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧长公式；连接，，先由垂径定理求出圆的半径，进而求出，从而求出的长度，再加上的长度即是该图形的周长． 【详解】解：连接，，如图所示， 设圆O的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，过圆心点O， ， ∴， ∵在中， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度为， ∴该图形的周长是． 故答案为：． 15. 若点，点均在反比例函数的图象上，且 ，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】解： 点，都在反比例函数的图象上，且， . 当 时，随的增大而减小. . 解得. 故答案为 16. 如图，矩形的面积为24，对角线、交于点O．如果E、F、G、H分别是、、、的重心，那么四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形可得 ，，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，由重心，可得，，，，则，，，， ，即可证明四边形 是矩形，得到，接着证明，得到， 同理可得，最后根据四边形的面积计算即可． 【详解】解：∵矩形的面积为24， ∴ ，， 连接并延长交于，连接并延长交于，连接， ∵E、F、G、H分别是 、 、、的重心， ∴，，，， ∴，，，， ， ∴，， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形的面积是． 17. 如图，在中，为的直径，弦，垂足为．若 ，且，则 ______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，如图，设的半径为R，先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理由得到，在 中，，利用余弦的定义得，即，求出R，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如图，设的半径为R， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 在 中，， ， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 18. 一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最多和最少相差______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是解题的关键．由题意，易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图、俯视图及左视图，这个几何体的底层有6个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有4个小正方体， 第三层有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有14个，最少有12个小正方体．如图， 组成它的小正方体的个数最多和最少相差 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）． （1）画出关于y轴成轴对称的； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）直接写出四边形的周长______ 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴成轴对称的特征作图即可； （2）根据关于原点O成中心对称的特征作图即可； （3）根据勾股定理求出四边形的边长，进而可知四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵ ， ，，， ∴的周长． 20. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1 （2），2 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 21. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． （1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件应降价5元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低元，根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设降价y元， ， 整理得， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴ ， 答：每件应降价5元． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若 ，求 的度数． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到， ，再利用等腰三角形的性质得到 ，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出 ， ，再根据旋转的性质得到 ， ， ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数为． 23. 如图，为的直径，交于点为上一点，连接并延长交于点M，点N是延长线上一点，连接， ． （1）求证：为的切线； （2）若 且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵ ， ∴． ∴，， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴为的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，易得，，推出，，，即可证明； （2）设的半径，则，，由勾股定理得，，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得 或（舍去）， ∴的半径为6． 24. 已知直线过点，点为直线上一点，且点的坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点． （1）求k的值； （2）求 的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点P的坐标，进而得到点Q的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得直线l的解析式为， 在中，当时， ， ∴， ∵过点作轴的垂线，与函数的图象交于点， ∴点Q的纵坐标为2， 在中，当 时，， ∴， ∴． 25. 如图，四边形 为平行四边形，平分交于，延长 交于， （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分 ， ∴， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线得到，再通过平行四边形得到，进而得到，从而，进而． （2）由角平分线的定义和平行线的性质可得 ，由相似三角形的判定和性质可得，即得，，进而可得，再代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 26. 交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速 ，在公路上方 高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为 ， 后在C处再次识别到这辆车，俯角为 ，已知此车辆车牌位于地面 高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据： ， ， ， ， ， ） 【答案】 解：这辆汽车没有超速，理由如下： 如图，过点A作交延长线于点D， 根据题意得， ， ， ∴， ∴ ∴这辆汽车的速度为 ∴这辆汽车没有超速． 【解析】 【分析】如图，过点A作交延长线于点D，首先求出 ，解直角三角形求出，，然后求出速度比较即可． 【详解】略 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； （3）在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点 是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时， （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得抛物线的表达式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为 ，设，则，可得，利用二次函数的性质即可得的最大值为，； （3）先求出直线解析式，根据点是的角平分线与的交点得出，根据抛物线解析式可求出对称轴为直线，，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于 ，作，交轴于，连接，可得四边形 是平行四边形，，即可得出、 、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用两点间距离公式求出的长即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线 与轴交于点， ∴当时， ， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为 ， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴此时，． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵ ，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是的角平分线与的交点，且在第三象限， ∴点到轴和轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等， 设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是轴上一点，点 是抛物线对称轴上一点，且， ∴ ， 如图，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于 ，作，交轴于，连接， ∴，， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴、 、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为， 由（2）可知，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $