3.3 垂径定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“垂径定理”，通过赵州桥主桥拱半径计算的情境导入，衔接圆的弦、直径等概念，引导学生在探究中发现轴对称及等量关系，搭建从具体问题到抽象定理的学习支架。 以“问题探究—归纳总结—典例应用—分层检测”为主线，情境导入培养数学眼光，探究过程发展推理能力（数学思维），实际问题解决体现模型意识（数学语言），习题含分类讨论题，助力学生理解定理本质，提升应用能力。

优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 第三章圆 *3.3垂径定理 学习目标： 1.理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；（重点） 2.利用垂径定理及其推论解决实际问题.（难点） 自主学习 一、情境导入 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37，拱高（弧的中 点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）· 合作探究 一、要点探究 知识点一：垂径定理及其推论 探究一如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ()右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由 y0WyI100.c0MⅢ 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 归纳总结： 垂径定理： 典例精析 例1如图，OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6 cm,则AB=cm. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ B D (1) (2) (3) (4) 探究二如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD,交AB于点 M. (1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 y M D youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 归纳总结 垂径定理的逆定理： 例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点O是弧CD的圆心），其中 CD=600m,E为弧CD上的一点，且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 练一练 1.如图a、b,一弓形弦长为4√6cm,弓形所在的圆的半径为7cm, 则弓形的高为cm. 图a 图b 二、课堂小结 垂直于弦的直径平分这条弦 内容→ 并且平分弦所对的弧。 条直线满足：①过圆心：②垂直于弦： ③平分弦（不是直径）：④平分弦所 推论→ 对的优弧：⑤平分弦所对的劣弧.满足 垂径定理 其中两个条件就可以推出其它三个结 论（“知二推三”) 辅助线→两条辅助线：连半径，作弦心距 基本图形及 构造Rt△利用勾股定理计 变式图形 算或建立方程， ◆ 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教甜 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 当堂检测 1.已知⊙0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm. 2.(分类讨论题)已知⊙0的半径为10cm,弦MN IEF,且MN=12cm,EF=16cm, 则弦MN和EF之间的距离为 cm. 3.(朝阳区期末)圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且 构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图 所示，若水面宽AB=0.8m,求水的最大深度. 0.8 B youy11oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 二、小组合作，探究概念和性质 典例精析 例1如图，OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm. 答案：16 解析：连接OA. ,OE⊥AB, ..AE=VA2-OE2 =102-62=8(cm. .∴.AB=2AE=16(cm). 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ D (1) (2) (3) (4) 答案：(1)是(2)不是，因为没有垂直. (3)是 (4)不是，因为AB,CD都不是直径 youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 回顾导入 赵州桥中，弦长a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系： C 数量关系 d+h=r 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交AB 于点C,交弦AB于点D,则CD=7.23. 由垂径定理，得D=24B=18,5 设⊙O的半径为Rm. 在Rt△AOD中，AO=R, OD=R-7.23,AD=18.5. 由勾股定理，得AO=OD+AD, ∴.R2=(R-7.23)2+18.52,解得R≈27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m 例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点O是弧CD的圆心），其中 CD=600m,E为弧CD上的一点，且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解：连接OC 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m OF LCD,:.CF=CD=x600=300(m). 2 D 根据勾股定理，得(O(2=CF2+OF2 R2=3002+(R-90).解得R=545. .这段弯路的半径约为545m. 练一练 2.如图a、b,一弓形弦长为4√6cm,弓形所在的圆的半径为7cm, 则弓形的高为cm. 答案：2或12cm 图a 图 youyroo.CoM 独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当堂检测 1.答：5 ayouyi100.c 3. 解：如图，作OC⊥AB于点C,连接OA, ∴.∠AC0=90°，AC=AB. ,AB=0.8m, 2 0.8 ..AC=0.4m. 直径为1m,∴.OA=0.5m. 在Rt△AOC中，根据勾股定理，得 OC=V042-AC2 =0.3(m) .∴.0.3+0.5=0.8(m). 优翼 ,∴.水深的最大深度为0.8m. www.youyi100.com 优置 www.youyi100.com 优翼 www.youyi100.com ·独家授权侵权必究