3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“圆周角和圆心角的关系”，通过射门游戏情境复习圆心角概念，引出圆周角，构建前后知识联系。设置复习回顾、做一做判断练习、分情况证明定理等学习支架，引导学生逐步理解概念与定理。 资料以现实情境激发学习兴趣，通过合作探究分情况证明定理培养推理能力，分层设计练一练、典例精析和当堂检测提升应用意识，符合数学眼光、思维与语言的核心素养，便于学生自主合作学习和教师教学评估。

优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角和圆心角的关系 学习目标： 1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（重点） 2.能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算.（难点） 自主学习 一、复习回顾 问题1什么叫圆心角？指出图中的圆心角， B C 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角 (∠ABC)有关 问题2图中的三个张角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边 和圆是什么关系？ 合作探究 一、要点探究 知识点一：圆周角的定义 youyI1oo.CoM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 做一做 1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由 B B 0 A (1) (2) (3 B 0 (4) (5) (6) 知识点二：圆周角定理及其推论 当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC, ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ E 做一做 如图，∠AOB=80°， (1)请你画出几个A4B所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流 B 提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？ (2)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？ youyrioo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 议一议 改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？ 情况一：圆心O在∠C的一边上（特殊情形） 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. A 2 0 合作探究 试一试：你能完成另两种情况的证明吗？ 圆心0在∠C 圆心0在∠C 的内部 的外部 情况二：圆心O在∠C的内部 0 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. 情况三：圆心O在∠C的外部 youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角. 求证：∠C=∠4OB. 2 归纳总结 想一想 在上面的射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时，所形成三个张角∠ABC,∠ADC, ∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 0 归纳总结 练一练 1.如图，点A、B、C、D在口O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧， ∠BAC=35 (1)∠BOC= °，理由是 (2)∠BDC= °，理由是 youyr1oo.CoM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例精析 例1如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数 70S 二、 课堂小结 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定 理的推论1 1.顶点在圆 圆周角的度数等于 同弧或等孤 上；2.两边 它所对弧上的圆心 所对的圆周 都与圆相交 角度数的一半。 角相等 的角. 当堂检测 1.判断 (1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等〔) (2)相等的弦所对的圆周角也相等() (3)同弦所对的圆周角相等() 2.已知△ABC的三个顶点在⊙0上，∠BAC=50°，∠ABC=47°， 则∠AOB=一 3.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ADB= youyrioo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C=30°，AB=2,则⊙0的半径 是 B 参考答案 一、创设情境，导入新知 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆周角的定义 做一做 答案：(1)对(2)顶点A不在圆上 (3)边AC没有和圆相交 (4)顶点A不在圆上 (5)对(6)对 知识点二：圆周角定理及其推论 做一做 B 圆心0在∠C 圆心0在∠C 圆心0在∠C 的一边上 的内部 的外部 猜想： 1 ∠ACB=1∠AOB=40° 2 youyI1oo.CoM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 议一议 改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？ B B 圆心0在∠C 圆心0在∠C 圆心0在∠C 的一边上 的内部 的外部 情况一：圆心O在∠C的一边上（特殊情形） 证明：()圆心O在∠C的一条边上，如图 :∠AOB是△AOC的外角， ∴.∠AOB=∠A+∠C ,OA=OC,.∠A=∠C .∠AOB=2∠C, 即LC-408 合作探究 情况二：圆心O在∠C的内部 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角 求证：∠C=二∠AOB. 2 过点C作直径CD.由已证可得： ∠ACD= ∠AOD,∠BCD=∠BOD 2 2 ∠ACD+∠BCD=2(ZAOD+∠BOD) 情况三：圆心O在∠C的外部 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角. 求i证：2C-A0B youyIoo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 过点C作直径CD.由已证可得： B ACD=AOD,ZBCD=∠BOD ∠ACD+∠BCD=(∠AOD-∠BOD) 即∠C=∠AOB 2 想一想 在上面的射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时，所形成三个张角∠ABC,∠ADC, ∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 根据圆周角定理， 1 ∠ABC= ∠AOC,∠ADC=三∠AOC, 2 ∠AEC=5∠AOC, 2 所以∠ABC=∠ADC=∠AEC. D 练一练 答案： (1)70;一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 (2)35；同弧所对的圆周角相等 典例精析 例1如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. 解：，圆心角∠AOB与圆周角∠ACB 所对的弧为AB, ·.LACB=3∠40B=250 同理∠BAC=∠B0C=35 当堂检测 1. 答案：(1)√(2)×(3)× 2. youyr7oo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：166 3.答案：50 4 答案：2 解：连接OA、OB .∠C=30°， .∠AOB=60 又：OA=OB, ,△AOB是等边三角形 .OA=OB=AB=2,即半径为2 youyrioo.coM 独家授权侵权必究·