3.7 切线长定理（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“切线长定理”，通过复习直线和圆的位置关系及切线判定方法导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知切线性质过渡到切线长定义及定理的探究。 以合作探究和动手实践为主线，学生通过画图、猜想、证明自主构建切线长定理，培养推理意识，结合例题及中考真题强化应用能力，当堂检测与参考答案设计助力巩固，发展几何直观与应用意识，适合自主学习与教学评估。

第三章 圆 *3.7 切线长定理 学习目标： 1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点) 自主学习 一、复习回顾 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) 合作探究 1、 要点探究 知识点一： 切线长的定义 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 知识点二： 切线长定理 合作探究 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点. (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 动手实践 请证明你的猜想. 已知：如图， PA，PB 是☉O 的两条切线，A，B 为切点. 求证：PA = PB. 合作探究 思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 如何验证我们的猜想是否正确？ 知识要点 切线长定理 合作探究 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ 例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径. 链接中考 1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) 2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°. (1) 求∠P 的大小； (2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号). 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，则 ∠APO = ，PB= . 2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= . 3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 . 4. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 参考答案 一、创设情境，导入新知 1. 相离、相交、相切. 2. (1) 数量关系法(证明 d = r)； (2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一： 切线长的定义 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 知识点二： 切线长定理 合作探究 (1) 是轴对称图形，对称轴是直线 OP . (2) 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 是☉O 的切线， ∴∠PAO = ∠PBO = 90°. 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△POA≌Rt△POB. ∴ PA = PB. 合作探究 思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 猜想：∠APO = ∠BPO 合作探究 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即 AD＋BC＝AB＋CD. 例1 解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r. 在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24， ∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE， AD = AF，CE = CF. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4. 链接中考 1.B 2. 解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°. ∵∠BAC = 30°， ∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°. 又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C， ∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形. ∴∠P = 60°. (2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°. ∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°. ∴ △PAC 为等边三角形. ∴ PA = AC. ∴ PA = . 当堂检测 1. 答案：20°，4 2. 答案：110°. 3. 30 4. 学科网（北京）股份有限公司 $