3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“圆周角和直径的关系及圆内接四边形”，引导学生掌握直径所对圆周角为直角、90°圆周角所对弦为直径的性质，以及圆内接四边形对角互补的结论。通过复习回顾圆周角定义与定理搭建学习支架，衔接新旧知识，引导学生逐步深入探究。 资料以“猜想-推理-验证”为主线，培养学生推理意识，结合“链接中考”“当堂检测”等分层习题提升应用意识，自主学习与合作探究结合发展几何直观，助力学生构建知识体系，提升分析解决问题能力。

第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 学习目标： 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点) 自主学习 一、复习回顾 问题 1 什么是圆周角？ 问题 2 什么是圆周角定理？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：直径所对应的圆周角 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 归纳总结 推论 直径所对的圆周角是直角. 几何语句：∵ BC 为直径， ∴∠BAC = 90°. 推论 90° 的圆周角所对的弦是直径. 几何语句：∵∠BAC = 90°， ∴ BC 为直径 . 链接中考 1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. 练一练 1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 知识点二：圆内接四边形及其性质 (1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ (2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ 归纳总结 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 根据以上讨论你能发现什么结论？ 推论 圆内接四边形的对角互补. 几何语句： ∵四边形 ABCD 为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD = 180° （圆内接四边形的对角互补）. 想一想 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？ 链接中考 2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ， 则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 二、课堂小结 当堂检测 1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 2.(阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ， ∠DAC = 25°，求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 参考答案 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：直径所对应的圆周角 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC 为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴根据圆周角定理，∠A＝∠BOC＝90°. 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 解：弦 BC 是直径. 连接 OC、OB， ∵圆周角∠A＝90°， ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°. ∴ B、O、C 三点在同一直线上. ∴ BC 是⊙O 的一条直径. 链接中考 1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. 解：∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ADB = 90°. ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°， ∴∠B = 25°. ∴∠BAD = 90°-∠B = 65°. 练一练 1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　C　) A．30° B．45° C．60° D．75° 知识点二：圆内接四边形及其性质 (2) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ 解：∠BAD 与∠BCD 互补. ∵AC 为直径， ∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°， ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. (2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ 解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立. 连接 OB，OD， 则∠BAD = ∠2，∠BCD = ∠1. ∵∠1 +∠2 = 360°， ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. 想一想 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？ ∵∠A＋∠DCB＝180°， ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 链接中考 2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ， 则 ∠BOD 的度数为 ( C ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 当堂检测 1. 解：连接 BC. ∵AB 是 ⊙O 直径， ∴∠ACB = 90°. ∴∠B = ∠D = 26°. ∴∠CAB = 90° - 26° = 64°. 2. 答案：C 3. 答案：B 4. 解：△BDE 为等腰直角三角形. 证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC. ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC. ∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE， ∠DBE =∠DBC +∠CBE， ∴ ∠BED =∠DBE. ∴ BD = ED. ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB = 90°. ∴ △BDE 是等腰直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $