3.8 圆内接正多边形（导学案）数学北师大版九年级下册

3.8 圆内接正多边形 导学案 1.了解圆内接正多边形的有关概念。 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。 学习重点：正多边形各要素（半径、中心角、边心距、边长）的数量关系。 学习难点：将几何概念与实际情境结合，熟练运用分割圆或构造直角三角形等方法进行综合解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． ②切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． ③各边相等 ,各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.情景引入 问题1： 观看下面的图形，你能从这四幅图中找出多边形吗？它们都是几边形？ 解：三角形 六边形 四边形 五边形 问题2： 上图的多边形都是什么样的多边形？ 解：是各边都相等，各内角都相等的正多边形. 新知自研：自研课本第97--98页的内容． 【学法指导】 自研课本P97-98页的内容，思考： ●探究一：圆内接正多边形 ◆1.尝试思考 观看下面的图形，这些正多边形的顶点都具有什么样的特征？ 解：它们的顶点都在同一个圆上． ◆1.想一想 如何作圆内接正多边形呢？ 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？说说你的理由 解：是正五边形. 证明：∵ ∴AB=BC=CD=DE=EA. ∴ ∴∠A=∠B.　 同理 ∠B=∠C=∠D=∠E. ∴ 五边形ABCDE是正五边形. ◆3.知识归纳 ◎圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． ◎利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法： 把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形． 这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆. 拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形． ◆4.议一议 以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念 【解答】解：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 圆心O叫做这个正五边形的 ； OA是这个正五边形的 ； 是这个正五边形的中心角； OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的 ． 思考:正五边形的中心角是多少？正n边形呢？ ． ●探究二：正多边形的相关性质及应用 ◆1.知识归纳 正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角都相等，都等于 ； ②正n边形的每个外角都相等，都等于 ； ③正n边形的每个内角都相等，都等于 . ◆2.做一做 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° ◆3.例题探究 例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. ◆4.方法归纳 在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解． ①连半径，得 ； ②作边心距，构造 . ◆5.做一做 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗? 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 例2 如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心，求地基的中心到边缘的距离.(结果精确到0.1 m) 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆内接正多边形的相关概念以及性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（     ） A．6 B．8 C．9 D．12 2.如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（      ） A．10° B．15° C．20° D．25° 3.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠ANF的度数为（    ） A．108° B．125° C．90° D．144° 4.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（     ） A．2 B．2 C．3 D．1 5. 如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是_____. 6．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为_____cm． 7. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为____． 8. 如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为____． 9.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积． 10.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 ). 题型一：正多边形与圆中求角度 1．一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（　　） A．15° B．60° C．45° D．30° 2． 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则 ∠AOB的度数是（　　） A．83° B．84° C．85° D．94° 3．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（　　） A．72° B．108° C．128° D．144° 4．如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（　　） A．116° B．120° C．124° D．126° 题型二： 正多边形与圆中求线段长 5．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（　　） A．2 B．4 C．4.5 D．5 7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（　　） A．7 B． C． D． 8．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 正多边形与圆中求半径 9．如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径等于 　 　cm． 10．生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． 题型四 正多边形与圆中求周长 12．一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　 　． 13．如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于，则⊙O的周长等于 　 　． 14．如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形ABCDEF各边的中点，则六边形ABCDEF边长为4，六边形GHIJKL的周长为 　 　． 题型五： 正多边形与圆中求面积 15．若圆的内接正六边形的边心距是，则该六边形的面积是 　 　． 16．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（　　） A．2 B．3 C． D． 17．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　） ​ A．π B．2π C． D． 题型六: 正多边形与圆中的证明 18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 19．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． ▲1.圆内接正多边形 顶点都在 的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的 ． ▲2.正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角都相等，都等于 ； ②正n边形的每个外角都相等，都等于 ； ③正n边形的每个内角都相等，都等于 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.8 圆内接正多边形 导学案 1.了解圆内接正多边形的有关概念。 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。 学习重点：正多边形各要素（半径、中心角、边心距、边长）的数量关系。 学习难点：将几何概念与实际情境结合，熟练运用分割圆或构造直角三角形等方法进行综合解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①切线长：经过圆外一点作圆的切线， 和 之间的线段的长叫作切线长． ②切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 ． ③ 相等 , 也相等的多边形叫做正多边形. 2.情景引入 问题1： 观看下面的图形，你能从这四幅图中找出多边形吗？它们都是几边形？ 问题2： 上图的多边形都是什么样的多边形？ 新知自研：自研课本第97--98页的内容． 【学法指导】 自研课本P97-98页的内容，思考： ●探究一：圆内接正多边形 ◆1.尝试思考 观看下面的图形，这些正多边形的顶点都具有什么样的特征？ ◆1.想一想 如何作圆内接正多边形呢？ 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？说说你的理由 【解答】 ◆3.知识归纳 ◎圆内接正多边形 顶点都在 的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的 ． ◎利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法： 把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形． 这个圆是这个正多边形的 ，正n边形的各顶点n等分其外接圆. 拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形． ◆4.议一议 以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念 【解答】解：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 圆心O叫做这个正五边形的中心； OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角； OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距． 思考:正五边形的中心角是多少？正n边形呢？ 正五边形的中心角是72°，正n边形的每个中心角等于 ●探究二：正多边形的相关性质及应用 ◆1.知识归纳 正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角都相等，都等于； ②正n边形的每个外角都相等，都等于； ③正n边形的每个内角都相等，都等于180°－. ◆2.做一做 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° 解：C ◆3.例题探究 例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD. ∵六边形ABCDEF为正六边形. ∴∠COD==60°， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=OD=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2. ∴OG===2, ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4，边心距为2. ◆4.方法归纳 在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解． ①连半径，得中心角； ②作边心距，构造直角三角形. ◆5.做一做 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗? 分析：由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R. 所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可将六等分圆，进而作出圆内接正六边形. 作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； (3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 例2 如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心，求地基的中心到边缘的距离.(结果精确到0.1 m) 解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA， OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角． 由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°， ∴ ∠AOM＝36°． ∵ AB＝×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)． 在Rt△AMO中，边心距OM＝＝≈3.6(m)． 所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆内接正多边形的相关概念以及性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（     ） A．6 B．8 C．9 D．12 解：C． 2.如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（      ） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：B． 3.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠ANF的度数为（    ） A．108° B．125° C．90° D．144° 解：A. 4.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（     ） A．2 B．2 C．3 D．1 解：B． 5. 如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是_____. 解：8 6．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为_____cm． 解：4 7. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为____． 解： 8. 如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为____． 解：3 9.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积． 解：连接AO，BO，CO，AC， ∵正八边形ABCDEFGH的半径为2， ∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=360°÷8=45° ∴∠AOC=90°， ∴AC= 2，此时AC与BO垂直， ∴S四边形AOCB=BO×AC=×2×2=2 ∴正八边形面积为：2×=8． 10.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 ). 解：过点O作OM⊥BC于M. 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的周长l=6×4=24(m) 亭子地基的面积 题型一：正多边形与圆中求角度 1．一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（　　） A．15° B．60° C．45° D．30° 【分析】根据多边形的外角和为360°，又由正多边形的每一个外角都相等，求出多边形的边数，根据圆心角为360°，即可解答． 【解答】解：正多边形的边数为：360÷30＝12， 这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为：360°÷12＝30°， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角与外角． 2． 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则 ∠AOB的度数是（　　） A．83° B．84° C．85° D．94° 【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题； 【解答】解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°， ∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（　　） A．72° B．108° C．128° D．144° 【分析】求出正五边形的内角度数，由圆的内接四边形对角互补，求出∠P，再利用三角形内角和求出答案即可． 【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为180°（5﹣2）＝540°， ∴∠B＝540°÷5＝108°， ∵四边形ABCP是圆的内接四边形， ∴∠P＝180°﹣108°＝72°， 在三角形ACP中， ∠ACP+∠CAP＝180°﹣72°＝108°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 4．如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（　　） A．116° B．120° C．124° D．126° 【分析】根据正多边形的内角和公式得到正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，求得∠A＝108°，在⊙A上取一点M，连接FM、GM，根据圆周角定理得到∠FMGA＝54°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∴∠A＝108°， 在⊙A上取一点M， 连接FM、GM， ∴∠FMGA＝54°， ∴∠P＝180°﹣∠FMG＝126°， 故选：D． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型二： 正多边形与圆中求线段长 5．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2， ∴AM＝1， 根据勾股定理可得， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 6．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（　　） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长． 【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝120°， ∴∠HAF＝60°， ∵∠AHF＝90°， ∴∠AFH＝30°， ∴AF＝2AH， ∴x＝2（6﹣x）， 解得x＝4， ∴AB＝4， 即正六边形ABCDEF的边长为4， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（　　） A．7 B． C． D． 【分析】连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝5，根据勾股定理求出AB，即可得到BC． 【解答】解：连接OA，OB，OE， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴OA＝OB＝OE，∠AOB90°，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝45°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°， ∵∠CBE＝15°， ∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°， ∴△OBE是等边三角形， ∴OB＝BE＝5， ∴OA＝5， ∴AB5， ∴正方形ABCD的边长为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，证得△OBE是等边三角形是解决问题的关键． 8．如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，连接AC，EC．证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解． 【解答】解：如图，连接AC，EC． ∵ABCDEF是正六边形， ∴△ACE是等边三角形， ∵AB＝4， ∴AC＝CE＝AE＝4， ∵AG＝GE＝2， ∴CG⊥AE， ∴CG6， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型三 正多边形与圆中求半径 9．如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径等于 　 　cm． 【分析】根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案． 【解答】解：如图， 根据正六边形的性质可知， ∴△AOB为等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝2cm，即正六边形的外接圆半径为2cm． 故答案为：2． 【点评】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 10．生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 【解答】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm， 连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD＝CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC120°， ∴∠ABD60°， ∴∠BAD＝30°，AD＝42， ∴a＝2AD＝4cm． 故选：B． 【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 11．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． 【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案． 【解答】解：连接OB、OD、OC，如图所示： ∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边， ∴∠AOC360°＝120°，∠AOD360°＝30°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝ODCD5， 即⊙O的半径为5． 【点评】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键． 题型四 正多边形与圆中求周长 12．一个正多边形的边长为2，中心角为45°，则这个正多边形的周长是 　 　． 【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为45°就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【解答】解：∵多边形的边数为：360÷45＝8， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长＝2×8＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了正多边形，掌握正多边形的定义和性质是解题的关键． 13．如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于，则⊙O的周长等于 　 　． 【分析】根据圆内接正六边形的边心距与半径的关系，求出圆的半径，再由圆的周长公式进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG， ∴∠COG30°， 在Rt△COG中， ∵sin∠COG， ∴OC ＝6， ∴⊙O的周长为2×π×6＝12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正六边形的边心距与半径的关系是正确解答的前提，求出圆的半径是正确解答的关键． 14．如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形ABCDEF各边的中点，则六边形ABCDEF边长为4，六边形GHIJKL的周长为 　 　． 【分析】作AM⊥LG于M，利用三角函数求出六边形GHIJKL的边长即可解答． 【解答】解：如图，作AM⊥LG于M， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠BAF＝120°，AF＝AB， ∵L、G分别为AF、AB的中点，AF＝AB＝4， ∴AL＝AG＝2， ∵AM⊥LG， ∴∠LAM＝∠GAM＝60°，LM＝GM， 在Rt△LAM中，LM＝AL•sin60， ∴LG＝2， 易得六边形GHIJKL是正六边形， ∴六边形GHIJKL与的周长为6×212． 故答案为：12． 【点评】本题考查了正多边形与圆，掌握正六边形的性质及等腰三角形和直角三角形的相关知识的应用是本题的解题关键． 题型五： 正多边形与圆中求面积 15．若圆的内接正六边形的边心距是，则该六边形的面积是 　 　． 【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 【解答】解：如图， 连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G． 在Rt△AOG中，OG＝2，∠AOG＝30°， ∵OG＝OA•cos 30°， ∴OA4， ∴这个正六边形的面积为64×224． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可． 16．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根据三角形内角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题． 【解答】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形， ∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°， ∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°， ∴∠FEG＝90°， ∵EF＝4， ∴EGEF， ∴△GEF的面积EF•GE4． 故选：C． 【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质． 17．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　） ​ A．π B．2π C． D． 【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为45°，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C， ∵圆的内接正八边形的圆心角为45°，OA＝1， ∴AC＝OC， ∴S△OAB1， ∴这个圆的内接正八边形的面积为82， 故选：D． 【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型六: 正多边形与圆中的证明 18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM． 【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴， ∵， ∴，即， ∴BM＝CM． 【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵点P是边BC的中点， ∴PB＝PC， 在△ABP与△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴PA＝PD； （2）连接OE，OA， ∵AE是以点O为中心的正六边形的一边， ∴∠AOE， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝60°， 连接PO并延长交AD于H，连接OD， ∵PA＝PD．OA＝OD， ∴PH⊥AD， ∴∠BAH＝∠PHD＝90°， ∴AB∥PH， ∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°， ∴． 【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ▲1.圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． ▲2.正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角都相等，都等于； ②正n边形的每个外角都相等，都等于； ③正n边形的每个内角都相等，都等于180°－. 学科网（北京）股份有限公司 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