2.4 第1课时 图形面积的最大值（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数的应用，核心为图形面积最大值问题。通过复习回顾二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标，引导学生思考最值决定因素，搭建从二次函数基本性质到实际应用的学习支架。 以自主学习与合作探究结合，通过引例、议一议及典例（如篱笆围菜园、窗户透光设计），培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理最值求解、用数学语言建立模型的能力，习题分层且联系生活，助力提升应用意识与分析解决问题能力。

第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用 第1课时 图形面积的最大值 学习目标： 1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点) 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点) 自主学习 一、复习回顾 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 想一想 思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：求二次函数的最大(或最小)值 例1 写出下列抛物线的最值. (1)y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4. 例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 知识点一：几何图形面积的最大面积 引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大? 最大值是多少? 议一议 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 归纳总结 典例精析 例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2) 二、课堂小结 当堂检测 1.如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框， 那么最大的透光面积是 . 2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s， 四边形 APQC 的面积最小. 3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? 参考答案 一、创设情境，导入新知 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x = - ； 顶点坐标：（- ，）； 想一想 思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：求二次函数的最大(或最小)值 例1 解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9), ∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9; (2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= - ，顶点坐标为( - ， ), ∴当x= - 时，y 取最大值，最大值为 . 例2答案：C 知识点二：几何图形面积的最大面积 引例 议一议 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解： (1) 设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . x＞0， 60 − 2x＞0， 60 − 2x≤32， ∴14≤x＜30. ∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. (2) 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. x＞0， 60 − 2x＞0， 60 − 2x≤18， ∴21≤x＜30. ∵ 15＜21， ∴ 当 21≤ x＜30 时，S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值，此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 典例精析 例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2) 当堂检测 1. 答案： m2 2. 答案：3 3. 学科网（北京）股份有限公司 $