1.1 第1课时 正切与坡度（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“正切与坡度”，引导学生理解正切定义、进行简单计算及解决坡度问题。通过“山险”判断、梯子倾斜程度比较等生活实例导入，从直观观察到抽象比值，搭建从具体到抽象的学习支架。 以生活情境驱动探究，借助梯子、自动扶梯等实例培养几何直观与抽象能力，通过相似三角形推理正切比值不变发展推理意识，结合坡度解决护坡石坝等实际问题强化模型意识，习题层次分明，助力学生构建知识体系。

优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角的三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标： 1.理解正切的意义，并能举例说明；（重点） 2.能够根据正切的概念进行简单的计算；（重点） 3.能运用正切、坡度解决问题.（难点） 合作探究 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 一、要点探究 知识点一：正切的定义 梯子是我们日常生活中常见的物体 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度 梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角 水平宽度☑ 问题1：在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ youyroo.coM 独家授权侵权必究 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 思考：如图，梯子AB和EF哪个更陡？ AAAMK 问题2：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ A E 4 m 3.5m B1.5m F1.3 mD 想一想 如图，小明想通过测量BC1及AC1,算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度你同意 小亮的看法吗？ (I)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？ (2) 和 .C2 AC C 有什么关系？ B2 (3)如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C)呢？ 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教抽 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 议一议 在图中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？ ∠A的 对边 A∠A的邻边 C 典例精析 例1下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 4m 13m 5m 甲 a 乙 8m 练一练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7,BC=5,则tanA=_,tanB=· 2.下图中∠ACB=90°，CDLAB,垂足为D.指出∠A和∠B的正切 (①)anA=（)-CD B AC ( 0 (2)tanB=（)_CD BC () youyIoo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教抽 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识点二：坡度、坡角 正切通常也用来描述山坡的坡度 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切 例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度（即tana)就 是： 100m 例2如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1：3，坝高BC=2米，则斜坡AB的 长是()米 A.2V5 B.2V10 C.4V5 D.6 B 针对训练 4.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂 直距离是55m,求山坡的坡度（结果精确到0.001m), youyr7oo.coM 独家授权侵权必究 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 二、课堂小结 定义 ∠A的对边 tan 4= ∠A的邻边 正切 与梯子倾斜 ∠A越大，tanA越大， 程度的关系 梯子越陡 坡度 铅直高度 tan a 水平宽度 当堂检测 1.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值( A.扩大100倍 B.缩小100倍 B youyr7oo.coM 独家授权侵权必究· 0 A C 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.不变 D.不能确定 2.完成下列填空： (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,AC=12,tanA=(). (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=() (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,tanA=3,AC=( 4 3.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10,求tanB. B youyrioo.com ·独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：正切的定义 问题1 倾斜角越大—梯子越陡 思考：当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 人4 问题2：当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡 倾斜角越大，梯子越陡 想一想 答案：(1)两个直角三角形相似 youyr7oo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)相等 (3)似三角形的对应边成比例 75 典例精析 例1 解：甲梯中，ana=6-3 841 5 乙梯中，tanB= 132-5212 “.'tana>tanf, ∴甲梯更陡 练一练 1. 2. (1)BC AD (2)AC BD 知识点二：坡度、坡角 例2答案：B 针对训练 4. 55 解：tanA= ≈0.286. √2002-552 当堂检测 1. youyIioo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·备心教铺 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 2. 答案：(1) (2) (3) 3 解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D, .在Rt△ABD中， 易知BD=5,AD=12 .'tanB=AD 12 BD 5 D 各号 20 3 youyroo.coM 独家授权侵权必究·