2.3 确定二次函数的表达式（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“确定二次函数的表达式”，通过复习一次函数、反比例函数的待定系数法及所需点的数量，引导学生类比猜想二次函数表达式形式及确定条件，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料以多种方法（顶点法、交点法等）结合实际情境例题（推铅球、小球运动）和中考链接，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）及数学语言（模型意识），助力学生灵活选择表达式，提升解决问题的实践能力。

第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式 学习目标： 1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点) 2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点) 自主学习 一、复习回顾 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数y = (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：顶点法求二次函数的表达式 合作探究 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示， 其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 针对训练 1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 知识点二：特殊条件的二次函数的表达式 例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)和 (－1,－3)， 求这个二次函数的表达式． 做一做 已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)， 求这个二次函数的表达式. 想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 知识点三：特殊条件的二次函数的表达式 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗? 合作探究 例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 链接中考 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 知识点四：交点法求二次函数的表达式 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 练一练 2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)， 求这个二次函数的解析式. 归纳总结 二、课堂小结 当堂检测 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 . 2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . 参考答案 一、创设情境，导入新知 1. 答：一次函数 y = kx + b (k≠0)：2 个待定系数，需要 2 个点坐标 反比例函数y = (k≠0)：1 个待定系数，需要 1 个点坐标 2. 答：待定系数法：(1) 设：表达式； (2) 代：坐标代入； (3) 解：方程(组)； (4) 还原：写出解析式. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：顶点法求二次函数的表达式 合作探究 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示， 其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 针对训练 1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， 因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9. 解得 a = -. ∴所求的二次函数的表达式是y = -(x - 8)2 + 9. 知识点二：特殊条件的二次函数的表达式 例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)和 (－1,－3)， 求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)， 3 = 4a + c， －3 = a + c， 解得 a = 2， c =－5. ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5. 做一做 已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)， 求这个二次函数的表达式. 解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1， 因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1. ∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)， 5 = 4a + 2b + 1， 13 = 4a - 2b + 1. 解得 a = 2， b = -2， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1. 知识点三：特殊条件的二次函数的表达式 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗? 合作探究 例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 链接中考 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 知识点四：交点法求二次函数的表达式 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ 答案： 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 练一练 2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， ∴ 图象经过另一点 (3，0). 故可设该二次函数的表达式为 y = a(x − 1)(x − 3). 将点 (0，−3)代入，得 −3 = a(0 − 1)(0 − 3)， 解得 a = −1. ∴ 该二次函数的表达式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3. 知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)， 求这个二次函数的解析式. 解：设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1. 再把点 (1，2) 代入上式得 ∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，解得 a = -1. ∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1， 即 y = -x2 + 3x + 1. 当堂检测 1. 答案： 2. 答案：y = -2(x-1)2+6 学科网（北京）股份有限公司 $