2.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，引导学生掌握一般式配方转化顶点式的方法，探究图象顶点、对称轴及增减性。通过复习回顾配方填空衔接旧知，以问题链搭建学习支架，连接二次函数顶点式平移规律与一般式性质。 资料以合作探究为主线，通过问题链引导学生自主推理配方步骤、平移规律及描点画图，培养运算能力与推理意识。典例精析结合中考真题与桥梁钢缆实际问题，渗透模型意识与应用意识，分层检测设计助力巩固知识，提升数学思维与表达能力。

第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象和性质 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学习目标： 1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标；（重点） 2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．（难点） 自主学习 一、复习回顾 合作探究 1、 要点探究 知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 猜想：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ 填一填 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. 合作探究 问题1 怎样将 y=2x² - 4x + 5化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 问题2 你能说出 y = 2(x - 1)² + 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 问题3 二次函数 y = 2(x - 1)² + 3 可以看作是由 y = 2x² 怎样平移得到的？ 问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象？ 问题5 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说出其增减性. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？ 典例精析 例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性. 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8. 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成 顶点式 y = a(x - h)2 + k？ 归纳总结 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 y = ax2 + bx + c = . 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 ， 对称轴是直线 . 归纳总结 知识点二：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 一般研究哪几种性质？ 合作探究 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 归纳总结 二次函数图象与 a、b、c 的关系 链接中考 1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1， 下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 做一做 如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y = x2 + x + 10 表示. (1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少? 二、课堂小结 当堂检测 1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A. y轴 B. 直线 x= C. 直线 x=2 D. 直线 x= 2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b 同号； （2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等； （3） 4a+b = 0； （4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 参考答案 一、创设情境，导入新知 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 填一填 答案：(1) − 6. (2) − 6；36. 合作探究 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 问题2 你能说出 y = 2(x - 1)² + 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3). 问题3 二次函数 y = 2(x - 1)² + 3 可以看作是由 y = 2x² 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的； 平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象？ 解：先利用图形的对称性列表； 然后描点画图，得到图象 如右图. 问题5 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说出其增减性. 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. 典例精析 例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性. 解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)， 当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4 对称轴：x = 1 顶点坐标：(1，4) (2) y = 2x2 - 12x + 8. y = 2x2 - 12x + 8 = 2(x2 - 6x) + 8= 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8= 2(x - 3)2 - 10 对称轴：x = 3 顶点坐标：(3，-10) 归纳总结 归纳总结 知识点二：二次函数的图象与系数的关系 合作探究 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 答案：＞，＞； ＞，＜； ＞，=. 答案：＜，＜； =，＞； ＞，＜. 归纳总结 二次函数图象与 a、b、c 的关系 链接中考 2. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1， 下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误； ②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0， ∴3a＜-c，故 ② 正确； ③：∵ x = -1 时，y 有最大值， ∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)， 即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b. 故 ③ 错误； ④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点(-3，-2)， 方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点为 (-3，-2). ∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的 另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3. ∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确． 所以正确的是 ②④. 做一做 如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y = x2 + x + 10 表示. (1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少? 答案： y = x2 + x + 10 = (x+20)2 + 1 顶点坐标(-20，1) (1) 1 m. (2) 40 m. 当堂检测 1. 答案：D 2. 3.答案：（2） 学科网（北京）股份有限公司 $