2.3 确定二次函数的表达式（第2课时）（导学案）数学北师大版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“确定二次函数的表达式”，通过知识回顾（待定系数法、顶点式条件）和问题情境（已知与y轴交点及两点坐标）引入，引导学生用一般式列三元一次方程组，自主学习设三个探究（已知三点用一般式、交点法、多方法比较），搭建递进式学习支架。 资料亮点在于分层探究与多样题型结合，通过归纳步骤（如一般式法四步）、对比不同设法（一般式、交点式、顶点式），培养学生抽象能力（从坐标抽象表达式）、推理意识（选择恰当设法）和运算能力，助力学生灵活运用待定系数法，提升解决问题的数学思维。

2.3确定二次函数的表达式 导学案 第2课时 1.会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式：y = + bx + c（） 。 2.会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式。 学习重点：正确运用待定系数法，熟练求出二次函数的一般式 y = + bx + c。 学习难点：在多种已知条件（顶点坐标、与 x 轴交点、特定系数等）下，灵活选取恰当的函数形式并准确列出方程组。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①求二次函数表达式采用的一般方法是 . ②确定二次函数的关系式时，当知道顶点坐标和图象上除顶点外的_________个点的坐标，就可以用顶点式 y=+k确定二次函数的关系式. ③已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上 个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 2.课堂引入 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？ 分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax²+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？ 思考：将三个点代入y＝ax²+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？ 新知自研：自研课本第44--45页的内容． 【学法指导】 自研课本P32-33页的内容，思考： ●探究一：已知三点求二次函数关系式 ◆1.做一做 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． ◆2.归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法： 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做 . 其步骤是： ①设函数表达式为 ； ②代入后得到一个 ； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出 . ◆3.练一练 已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的表达式是(　 　) A.y＝4x²＋3x－5 B.y＝2x²＋x＋5 C.y＝2x²－x＋5 D.y＝2x²＋x－5 ●探究二：交点法求二次函数关系式（拓展） ◆1.新知探究： 如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 【解答】解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是 . 其中、为交点的 .因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ， 解得： ， ∴所求的二次函数的表达式是y= ,即y= . ◆2.知识归纳 交点法求二次函数表达式的方法： 这种知道抛物线与 的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是 ； ②先把两交点的横坐标,代入到表达式中，得到关于a的 ； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. ◆3.练一练 已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　) A.y＝2x²＋x＋2 B.y＝x²＋3x＋2 C.y＝x²－2x＋3 D.y＝x²－3x＋2 ●探究三：用待定系数法求二次函数表达式的常见设法 ◆1.议一议 一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法，与同伴进行交流. ◆2.知识归纳 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝＋bx＋c； （已知抛物线上 或 的值，用一般式） (2)顶点式：y＝＋k； （已知抛物线的 或 或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－)(x－)． （已知抛物线与x轴交点的 ，用交点式） 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 例2 抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论用待定系数法求二次函数表达式的常见设法及满足的条件； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 2.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( 　) A.y＝－x－2 B.y＝−−x+2 C.y＝−−x+1 D.y＝－＋x＋2 3．过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　　) A.(1，2) B.（1，） C.(－1，5) D.（2，） 4．已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 _________. 5.已知二次函数的图象经过(1，0)，（－3，0）和（-2，3），则这个二次函数的表达式为 _________. 6.如图所示的抛物线的表达式为_________ . 7.二次函数y=a+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0)和(0，2)，则当x=2 时，y的值为_____ . 8.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 9.已知二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点. (1)试确定此二次函数的解析式. (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由. 题型一： 利用一般式求二次函数的解析式 1．如图，函数的解析式为（　　） A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2） 2．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 … 则二次函数的解析式为　 　． 3．已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式； 4．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 题型二： 利用交点式求二次函数的解析式 5．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 ． 6．如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0），且3AB＝4OC，则此抛物线的表达式为 　 　． 7．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 8．某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 题型三： 待定系数法与二次函数性质的综合 9．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3） 和C（3，12）． （1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标； （2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围． 10．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 11．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝＋bx＋c； （已知抛物线上 或 的值，用一般式） (2)顶点式：y＝＋k； （已知抛物线的 或 或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－)(x－)． （已知抛物线与x轴交点的 ，用交点式） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3确定二次函数的表达式 导学案 第2课时 1.会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式：y = + bx + c（） 。 2.会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式。 学习重点：正确运用待定系数法，熟练求出二次函数的一般式 y = + bx + c。 学习难点：在多种已知条件（顶点坐标、与 x 轴交点、特定系数等）下，灵活选取恰当的函数形式并准确列出方程组。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①求二次函数表达式采用的一般方法是 待定系数法 . ②确定二次函数的关系式时，当知道顶点坐标和图象上除顶点外的____一_____个点的坐标，就可以用顶点式 y=+k确定二次函数的关系式. ③已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上 两 个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 2.课堂引入 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？ 分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax²+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？ 思考：将三个点代入y＝ax²+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？ 新知自研：自研课本第44--45页的内容． 【学法指导】 自研课本P32-33页的内容，思考： ●探究一：已知三点求二次函数关系式 ◆1.做一做 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c. ∵该图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)， ∴10=a-b+c，4=a+b+c，7=4a+2b+c， 解得 a=2，b=-3，c=5. ∴所求二次函数表达式为 y=2x²-3x+5. ∴二次函数图像对称轴为直线x=，顶点坐标为(,). ◆2.归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法： 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. ◆3.练一练 已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的表达式是(　　) A.y＝4x²＋3x－5 B.y＝2x²＋x＋5 C.y＝2x²－x＋5 D.y＝2x²＋x－5 解：D ●探究二：交点法求二次函数关系式（拓展） ◆1.新知探究： 如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 【解答】解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-)(x-). 其中、为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得：a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x²-4x-3. ◆2.知识归纳 交点法求二次函数表达式的方法： 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-)(x-)； ②先把两交点的横坐标,代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. ◆3.练一练 已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　) A.y＝2x²＋x＋2 B.y＝x²＋3x＋2 C.y＝x²－2x＋3 D.y＝x²－3x＋2 解：D ●探究三：用待定系数法求二次函数表达式的常见设法 ◆1.议一议 一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法，与同伴进行交流. 解法一：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，将点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)分别代入上式得, c=1，a+b+c=2，4a+2b+c=1 解得a=−1，b=2，c=1 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 解法二：因为二次函数图象过点A(0，1)，即c=1, 设二次函数的表达式为y=ax²+bx+1，将B(1，2)和C(2，1)分别代入上式, 得a+b+1=2，4a+2b+1=1 解得 a=−1，b=2 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 解法三：∵点A(0，1)和C(2，1)关于直线x=1对称， ∴点B(1，2)为二次函数的顶点， 设二次函数的表达式为y=a(x-1)²+2，将点A(0，1)代入上式, 得 a+2=1 解得 a=-1 ∴这个二次函数的表达式为y=-(x-1)²+2，即y=-x²+2x+1. ◆2.知识归纳 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝＋bx＋c； （已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝＋k； （已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－)(x－)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标，，用交点式） 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝＋bx＋c． 依题意得 解得： ∴这个二次函数的表达式为y＝＋3x－4. 例2 抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式. 【解法一】 设所求二次函数关系式为：y =+bx+c. 又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），依题意得: 解得： ∴所求的函数关系式为y = -4x+3. 【解法二】 ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴-1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y =-4x+3. 【解法三】 ∵点（1，0）和（3，0）关于直线x =2对称,所以(2，-1）是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数关系式为：y = a-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=-1, 解得a=1, ∴ y = -1, 即所求函数关系式为y =-4x+3. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论用待定系数法求二次函数表达式的常见设法及满足的条件； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 解：B． 2.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( 　) A.y＝－x－2 B.y＝−−x+2 C.y＝−−x+1 D.y＝－＋x＋2 解：D. 3．过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　　) A.(1，2) B.（1，） C.(－1，5) D.（2，） 解：A． 4．已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 _________. 解：y＝＋4x－6 5.已知二次函数的图象经过(1，0)，（－3，0）和（-2，3），则这个二次函数的表达式为 _________. 解：y＝--2x+3. 6.如图所示的抛物线的表达式为_________ . 解：y＝-＋x＋2 7.二次函数y=a+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0)和(0，2)，则当x=2 时，y的值为_____ . 解：2 8.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=a+bx+c, 由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4，9a+3b+1=10， 解这个方程组，得a=，b=−. ∴所求的二次函数的表达式是y=−x+1. 9.已知二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点. (1)试确定此二次函数的解析式. (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由. 解:(1)设此二次函数的解析式为y＝a＋bx＋c. ∵二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)， 则有c=3,9a−3b+c=0，4a+2b+c=−5， 解得a=−1,b=−2,c=3, ∴y＝－－2x＋3. (2)∵－－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上， ∵－－2x＋3＝0， ∴＝－3，＝1， ∴与x轴的交点为(－3，0)、(1，0)， ∴＝×4×3＝6. 题型一： 利用一般式求二次函数的解析式 1．如图，函数的解析式为（　　） A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2） 【分析】把（﹣2，0），（2，0）和（0，3）代入y＝ax2+bx+c，解方程组即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵图象过点（﹣2，0），（2，0）和（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为yx2+3． 故选：C． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是对待定系数法求解析式的方法的掌握和运用． 2．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 … 则二次函数的解析式为　 　． 【分析】从表格中选三组数代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可． 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8； 故答案为：y＝x2﹣2x﹣8． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是选三组数代入解方程组． 3．已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式； 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点分别代入求出a，b，c即可． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， （﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得， 解得：． ∴y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【解答】解：（1）设y＝a（x﹣3）（x+1）， 将（2，﹣6）代入，则a＝2， ∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6， （2）∵，， ∴顶点坐标为（1，﹣8）；对称轴为直线x＝1． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线，其顶点坐标是． 题型二： 利用交点式求二次函数的解析式 5．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 ． 【分析】设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3． 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 6．如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0），且3AB＝4OC，则此抛物线的表达式为 　 　． 【分析】先得到OA＝3，OB＝9，则AB＝12，再利用3AB＝4OC得到OC＝9，可得到C点坐标为（0，9），设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），把C点坐标代入可求出a的值为，则二次函数的解析式为y（x+3）（x﹣9）x2+2x+9． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（9，0）， ∴OA＝3，OB＝9， ∴AB＝12， ∵3AB＝4OC， ∴OC＝9， ∴C点坐标为（0，9）， 设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， 把C（0，9）代入得a×3×（﹣9）＝9， 解得a， ∴二次函数的解析式为y（x+3）（x﹣9） ∴yx2+2x+9． 故答案为：yx2+2x+9． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（其中a≠0，x1，x2为抛物线与x轴两交点的横坐标），再把函数图象上第三个点的坐标代入得到关于a的方程组，解方程求出a的值，从而确定二次函数的解析式． 7．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1）， ∵OC＝2， ∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2； 把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2． 即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 8．某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），求出抛物线与直线的交点为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a的值． 【解答】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2）， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+2），即． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 题型三： 待定系数法与二次函数性质的综合 9．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3） 和C（3，12）． （1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标； （2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）设一般式为y＝ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可； （2）先得出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的对称性得出点N的对称点，最后利用二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入， 得，解得：， ∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3， ∵y＝2x2﹣x﹣3， ∴顶点D的坐标为（，）； （2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x， ∴N（1，y2）关于直线x的对称点为（，﹣2）， ∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2， ∴x1≤1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 10．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是y＝a（x）2+k，把点的坐标代入求出即可； （2）求出y＝4时对应的x的值，再根据二次函数的性质得出即可． 【解答】解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x， 设二次函数的表达式是y＝a（x）2+k， 把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：， 解得：a＝1，k， y＝（x）2x2+x﹣2， 所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2； （2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4， 解得：x＝﹣3或2， ∵a＝1＞0， ∴抛物算开口向上， ∵对称轴是直线x， ∴当y≤4时，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 11．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）先把一般式化为顶点式得到y＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）由（1）得到顶点坐标为（﹣1，2a2﹣a﹣4），则2a2﹣a﹣4＝0，然后解关于a的方程即可； （3）当a＞0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；当a＜0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分别解不等式即可． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； （2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，3a2﹣a﹣4）， ∵该抛物线的顶点在x轴上， ∴3a2﹣a﹣4＝0， 解得a1，x2＝﹣， 即a的值为或﹣1， ∴抛物线解析式为yx2x或y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）当a＞0时，抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）， 解得﹣5＜m＜3； 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1）， 解得m＜﹣5或m＞3， 综上所述，当a＞0时，﹣5＜m＜3；当a＜0时，抛物线开口向下，m＜﹣5或m＞3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可解决问题． （2）根据轴对称的性质，连接AC，则AC与抛物线对称轴的交点即为△PAB的周长最小时点P的位置，据此可解决问题． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为y． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线x＝3． （2）存在． 因为A，B为定点， 所以线段AB的长为定值． 则当PA+PB最小时，△PAB的周长最小． 因为点B与点C关于抛物线的对称轴对称， 则连接AC，与抛物线对称轴的交点即为△PAB的周长最小时点P的位置， 设直线AC的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， 所以直线AC的函数解析式为y． 将x＝3代入直线AC的函数解析式得， y， 所以点P的坐标为（3，）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 13．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）B（5，0）C（0，5）三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）P是x轴下方的抛物线上的点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣5），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式确定E（4，﹣3），再利用待定系数法求出直线CE的解析式为y＝﹣2x+5，接着求出直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0），然后根据三角形面积公式计算△CBE的面积； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5），利用三角形面积公式得到（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6，然后解方程可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入得a×（0﹣1）×（0﹣5）＝5， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5； （2）把E（4，m）代入y＝x2﹣6x+5得m＝16﹣24+5＝﹣3， ∴E（4，﹣3）， 把C（0，5），E（4，﹣3）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+5， ∵直线y＝﹣2x+5与x轴的交点坐标为（，0）， ∴△CBE的面积S（5）×（5+3）＝10； （3）设P（t，t2﹣6t+5）（1＜t＜5）， ∵△ABP的面积为6， ∴（5﹣1）×[﹣（t2﹣6t+5）]＝6， 解得t1＝2，t2＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝＋bx＋c； （已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝＋k； （已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－)(x－)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标，，用交点式） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $