2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，通过羽毛球运动轨迹实例复习y=x²性质，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生掌握画图方法、图象联系及简单应用。 以合作探究为主线，通过列表描点画图、问题链观察思考培养几何直观和推理意识，融入分层练一练与中考题，提升运算能力与应用意识，助力学生构建知识体系，发展数学思维与表达能力。

第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 学习目标： 1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；(重点) 2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；(重点) 3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 自主学习 一、复习回顾 羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质 合作探究 画出函数 y = 2x2 的图象. 列表. 描点，连线. 观察思考 问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？ 问题2 图象的对称轴是什么？ 问题3 图象的顶点坐标是什么？ 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？ 问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ 要点归纳 练一练 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点. 3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点. 4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 合作探究 问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？ 问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ 练一练 5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) 知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质 合作探究 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象． 问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 ； 把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 要点归纳 二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 练一练 6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 合作探究 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如何？ 想一想 根据图象回答下列问题： (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： _____________________________________________________. 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？ 要点归纳 二次函数 y = ax2 + c 的性质 想一想 1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？ 2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 例1 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 二、课堂小结 当堂检测 1.填表： 2.不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题： (1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2. (2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . (3) 试说出抛物线 y = x2 - 3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________. 4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　) 参考答案 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质 合作探究 画出函数 y = 2x2 的图象. 解：列表. 描点，连线. 观察思考 问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？ 二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y 轴就是它的对称轴. 问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0，0). 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？ 当 x = 0 时，ymin= 0. 问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 要点归纳 练一练 答案： 1. 向上，y轴，(0,0) 2. 向下，y 轴，(0,0)，高 3. 向上，y轴，(0,0)，低 4. 向下，y轴，(0,0)， 合作探究 问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？ 当 a > 0 时，a 的绝对值越大，开口越小 问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ 在二次函数 y = ax2 中，a 的绝对值越大，开口越小. 5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) 答案：(1) ③ ； (2) ① ； (3) ④ ； (4) ②. 知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质 合作探究 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象． 解：先列表： 再描点，连线. 问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 ； 把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 答案：上；y = 2x2 + 1；下 练一练 6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　A　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 合作探究 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如何？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 想一想 答案：(1) 抛物线； (2) 向下 ； (3) y 轴 ； (4) (0，1)， (0，−1) ； (5) 高，大， y = 1 ，y = −1 ； (6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小. 要点归纳 二次函数 y = ax2 + c 的性质 想一想 1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. 2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标. 对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c). 例1 C 当堂检测 1.填表： 2. 答案：(1) 向下平移 1 个单位 ； (2) ＞0 ； = 0；1；(0，1)； (-1，0)，(1，0) (3) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3). 3. 答：y1＞y2 4. D 学科网（北京）股份有限公司 $