2.1 二次函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数概念、一般形式及应用，通过复习一次函数引入，结合果园产量、储蓄本息等实际问题，引导学生从旧知过渡到新知，搭建学习支架。 以实际问题驱动概念生成，合作探究环节让学生自主抽象函数模型，培养抽象能力和推理意识，典例精析结合中考题强化应用，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升模型意识与应用能力。

第二章 二次函数 2.1 二次函数 学习目标： 1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点) 2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点) 3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点) 自主学习 一、复习回顾 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 合作探究 1、 要点探究 知识点一：二次函数的定义 问题1 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式. 做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式. 想一想 (1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗? (2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? 合作探究 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 知识要点 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，a≠ 0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数. a为二次项系数，ax2 叫做二次项； b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 典例精析 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ① y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ； ④ y = ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 方法总结 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 合作探究 链接中考 1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； 知识点二：二次函数的自变量取值范围 问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？ ① y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100 ③y = -x2 + 20x 总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 知识点三：列二次函数关系式 例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y与 x之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 二、课堂小结 当堂检测 1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( ) 2. 已知函数 y = 3x2m-1－5 ① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数. 3. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求 (1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时矩形的面积. 参考答案 一、创设情境，导入新知 1.答案：(1) 是； (2)不是，是反比例函数 ； (3)不是，x 最高次数是二次 ； (4)不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件； (5) 不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值； (6)是 . 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数的定义 问题1： 答案：(2) 果园共有(100 + x)棵树，平均每棵树结(600 - 5x)个橙子. y = (100 + x)(600 - 5x)= -5x² + 100x + 60000. 做一做 答：y = 100x2 + 200x + 100. 想一想 (1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x (2) 设矩形的其中一边长为 x，面积为 S. S = x(20 - x) = -x2 + 20x 当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得 x = 10. 当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x1 = 5，x2 = 15. 典例精析 答案：① 不是，y = 6x + 9 ； ② 是 ； ③ 是 ； ④ 不是，等式右边是分式； ⑤ 不是，x 的最高次数是 3 ； ⑥ 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 链接中考 1. 解：(1) 由题意得 ∴ m = 1. (2)y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 例3 解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6， 即 y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴ y 是 x 的二次函数. 当堂检测 1. A 2. ① 1 ② 3. 解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ). 学科网（北京）股份有限公司 $