1.5 三角函数的应用（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“三角函数的应用”，涵盖方位角、仰角俯角、坡角三类实际问题。通过轮船航行、塔高测量等生活情境导入，衔接已学锐角三角函数知识，搭建从理论到应用的学习支架。 资料以情境化问题设计和中考真题链接为特色，引导学生用数学眼光观察现实，通过建模将实际问题转化为解直角三角形，发展推理能力与应用意识，助力培养数学思维与表达能力，适合课堂教学使用。

优翼从书·舒心散结 画学科网书城画 b.ZxXk.com● 第一章 直角三 1.5三角 学习目标： 1.通过生活中的实际问题体会锐角三角 2.能够建立数学模型，把实际问题转化 一、情境导入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮 合作 一、要点探究 知识点一：与方位角有关的实际问题 引例如图，海中有一个小岛A,该岛四周 开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶 .之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会 youyr7oo.coM 独家授权 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 品牌书店·知名教辅·正版资源 您身边的互联网+教辅专家 角形的边角关系 函数的应用 函数在解决问题过程中的作用；（重点） 为数学问题.（难点） 主学习 角准确描述它的航行方向 助轮船在航行中远离危险吗？ 探究 10 n mile内有暗礁今有货轮由西向东航行， 20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处 百触礁的危险吗？ 北 60 侵权必究 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 链接中考 1.[贺州中考]如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方 向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20 n mile/h的速度行驶3h到 达港口B.求A,B间的距离 （√3≈1.73，√2≈1.4，结果精确到0.1 n mile) ↑北 609 归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 知识点二：仰角和俯角问题 想一想 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向 前进50m至B处.测得仰角为60°，那么该塔有多高？ (小明的身高忽略不计，结果精确到1m) D B 知识要点 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角：从上往下看，视线 与水平线下方的夹角叫做俯角 youyroo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 铅垂线 视线 仰角 俯角 水平线 视线 链接中考 2.[内江中考]如图，有两座建筑物DA与CB,其中CB的高为120m,从DA的顶点A测 得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，这两座建筑物 的地面距离DC为多少米？（结果保留根号） 2 30 450 知识点三：利用坡角解决实际问题 0 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m, 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01） 知识要点 坡度或坡比 =tana 坡角越大，斜坡越陡 铅直 坡度越大，斜坡越陡 高度h 坡角 B水平宽度1C youyroo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 链接中考 3.[十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡 角∠=45°，∠B=30°，求BC的长. 二、课堂小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）： (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 当堂检测 1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面 上的影长为24米，那么旗杆的高度约是( A.12米B.8V3米 C.24米D.24V3米 2.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北 北 北偏西40°方向，则从C岛 看A,B两岛的视角∠ACB等于 0 3.如图，为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米 的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米， 则树高」 (精确到0.1米). B 4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南 youyr7oo.coM 独家授权侵权必究◆ 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的 B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 5.如图，直升飞机悬停在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得 飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度P0. 、30 45 6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分 别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1，V3=1.7322=1.414) D 12米 C 4米 145° 30°7 youyr7oo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：与方位角有关的实际问题 引例 解：由点A作AD⊥BC于点D,设AD=x, 则在Rt△ABD中，BD=AD·tan∠BAD=x·tan55o 在Rt△ACD中，CD=AD●tan∠CAD=x·tan259 北 由BC=BD-CD,得 BC=x◆tan55°-x·25°=20 解得x≈20.79>10 Ci 所以，这船继续向东航行是安全的 D东 259 链接中考 1. youyrioo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 画学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：如图所示，过点C作CD⊥AB,垂足为D, 则∠ACD=60°，∠BCD=45° 在Rt△BCD中，in∠BCD= .cos∠BCD= 2 北 2 2 BD-BC.sin ZBCD-20x3x ≈42(n mile) 609 CD=BC.cos∠BCD≈42(n mile) D 在Rt△ACD中，tam∠4CD=4D CD .AD=CD.tan∠ACD=42×V3≈72.7(n mile) .∴AB=AB+BD=72.7+42=114.7(n mile) 即A,B间的距离约为114.7 n mile. 知识点二：仰角和俯角问题 想一想 解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m, 设塔高DC=xm. Rt△ADC中，tan30°= DC AC Rt△BDC中，tan60°= DC BC x4--130 60 ,∴.AB=AC-BC= 50m B tan 30 tan 60 50 ∴.x= 1 1 -=253≈43(m). tan30°tan60 链接中考 2 解：如图所示，过点A作AE⊥BC,垂足为E 则四边形ADCE为矩形，.∴.AE=DC B 设BE=x.在Rt△ABE中，∠BAE=30°， an∠BAE=BE 则AE=BE=V5x AE tan∠BAE 2309 ∠EAC=45°，.EC=AE=3x. 45o 由题意，得CE+BE=120,即V3x+x=120, 解得x=60√3-60m .DC=AE=3x=(180-60v3)m. D 答：这两座建筑物的地面距离DC为180-60W3)m. youyoo.coM 独家授权侵权必究 优翼从书·舒心散轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识点三：利用坡角解决实际问题 解：如图∠ACD=40°，∠ABD=35°，AC=4m. Rt△4CD中，sm40=40AD=4sin40 ·tan40°=AD AC DC :DC= AD tan40°· tan35°=AD :DB=AD 35° 人40 DB' ,an35o· B ?C 1 ∴.BC=DB-DC=AD 1 tan35°tan40° 1 1 =4sin40° tan35°tan40° ≈0.61(m- 链接中考 3. 解：，'AD∥BC,且AE⊥BC,DF⊥BC, ,∴四边形AEFD是矩形 .'.AE=DF=6m,AD EF=3m. B .∠a=45°，∠β=30°， d DE ∴.BE=AE=6m,CF= 6 an30°an30=6V3m, ..BC=BE+EF+CF=6+3+63=(9+63)m. 当堂检测 1. 答案：B 2. 答案：90 3. 答案：20.9米 4. youyroo.coM 独家授权侵权必究 优置从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解：如图，在Rt△APC中， PC=PAc0s(90°-65°)=80Xc0s25°， ≈80×0.91=72.8 65 在Rt△BPC中，∠B=34° sin B=PC PB=PC-72.8 ≈130.19 PB sin B sin34 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34° 方向时，它距离灯塔P大约130.19 海里 5 解：如图，过点P作PC⊥BA交BA的延长线于点C 则∠PBO=∠CPB=45°，∠CPA=30°. .∴.PC=BC=200+AC, tan30°=4C=4C PC 200+AC 、30 .∴.AC=100+1005)米 、200米 .∴.PO=BC=(300+100W5)米. 45°、 B 6. 解：作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F. 由题意可知DE=CF=4(米)， 112米 CD=EF=12(米). 4米 在Rt△ADE中， ↓45 30° '.'tan 450=DE 4 E AEAE'·AE= tan450=4(米). 在R△BCF中，同理可得F=,4 an30*6.93(米 因此AB=AE+EF+BF=4+12+6.93≈22.93（米）. 答：路基下底的宽约为22.93米. youyr7oo.coM 独家授权侵权必究·