1.4 解直角三角形（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“解直角三角形”，通过复习直角三角形的三边关系、锐角关系及边角关系搭建学习支架，引导学生从已知元素（至少含一边）出发，掌握已知两边、已知一边及一锐角两种基本类型的求解方法。 资料以“自主学习—合作探究—当堂检测”为脉络，典例精析与分层练习结合，培养学生运算能力与推理意识，构造直角三角形解决问题的环节渗透转化思想，发展几何直观与模型意识，助力学生用数学思维分析和解决实际问题。

优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第一章直角三角形的边角关系 1.4解直角三角形 学习目标： 1.正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；（重点） 2.选择适当的关系式解直角三角形.（难点） 自主学习 一、复习回顾 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素 之间有怎样的关系呢？ (1)三边之间的关系： a2+b2= (2)锐角之间的关系： ∠A+∠B= (3)边角之间的关系： b sinA=,cosA= tanA= sinB=,cosB= tanB= 合作探究 一、要点探究 知识点一：已知两边解直角三角形 问题1如果已知Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 典例精析 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且 裘这魏角形的其他元素。 V15 youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优星从书·舒心散辅 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 练一练 1在如图的Rt△ABC中，根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其 他元素吗？ 6 A2.4C 归纳总结 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 知识点二：已知一边及一锐角解直角三角形 问题2如果已知Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b =30,∠B=25°，求这个直角三角形的其他元素（边长精确到1）. b 30 125° 练一练 2.在图中的Rt△ABC中，根据∠A=75°，斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其 他元素吗？ 6 合作探究 在Rt△ABC中，如果已知∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 归纳总结 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素 (其中至少有一个是边)，这个三角形就可以确定下来，这样就可以由己 b 知的两个元素求出其余的三个元素. 知识点三：构造直角三角形解决问题 例3如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2,求BC的长. B 练一练 3.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大 于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ 二、课堂小结 youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 勾股定理 依据 两锐角互余 解直角 锐角的三角函数 三角形 解法：只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边)，就 可以求出余下的三个未知元素 当堂检测 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8,则BC的长是() A.45 B.4 4 C.8V5D.4v3 D 2.在△ABC中，AB=AC=3,BC=4,则cosB的值是 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3,cosB=,则AC的长为() A.3B.3.75 C.4.8D.5 B 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,∠BAC的平分线AD=4√3解这 个直角三角形. 43 youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 一、创设情境，导入新知 答案：(1)c2 (2)90° (3) 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：已知两边解直角三角形 例1 解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,a=√15，b=√5 .:c=√a+b2=25. 在RIAABC中，simB=b-5-1 a2525 则∠B=30°，∠廷=0 练一练 1 youyIoo.CoM 独家授权侵权必究 优翼星从书·舒心散辅 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 B 解：AB2=AC2+BC2→BC=VAB2-AC2=V62-2.4≈5.5 →c0sA= 2 AB 4=0.4→∠A≈66 6 ∠A+∠B=90°→∠B=90°-∠A≈90°-66=24 A2.4C 知识点二：已知一边及一锐角解直角三角形 例2 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， .∴.∠A=65° sin B=b,b=30, b c 30 s1 Bsin25≈71. ∴.c= c b 30 b :tanB=2,b=30, 25° a 30 tan B tan 25 *64. 练一练 2. 解：sinA= BC B →BC=AB.sin A=6×sin75≈5.8 AB CosA= AB→AC=Bc0sA=6xcos75≈1.6 75 ∠A+∠B=90°→∠B=90°-∠A=90°-75=15 知识点三：构造直角三角形解决问题 例3 解：过点A作AD⊥BC于点D, 在△ACD中，∠C=45°，AC=2, ..CD=AD=sinC·AC=2sin45°=√2 在△ABD中，∠B=30°， .'BD=- AD -6 tan B 3 ∴.BC=CD+BD=√2+V6, youyt7oo.com 独家授权侵权必究 优置从书·舒心散甜 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 3. 》1 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， AB=AC =485 ≈4.62 sin∠Bsin60 3 答：梯子的长至少4.62米。 当堂检测 1答案：D 2.答案： 3.答案：B 4. 解：rcos∠C4D=4C-6=5 优翼 D452 ∴.∠CAD=30° ,'AD平分∠BAC, 45 www.youyi100.com ∴.∠CAB=60°，∠B=30° D .AB=12,BC=6V月 www.youyi100.com 优 优翼 www.youyi100.com youyr7oo.coM 独家授权侵权必究 2 3