1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“30°、45°、60°角的三角函数值”，通过猜谜语（三角尺）情境导入，联系学生熟悉的学习工具，引导思考其特点及三角函数值计算，衔接三角函数定义，搭建从一般到特殊的学习支架。 资料以自主学习与合作探究为主，情境导入激发兴趣，让学生自主推导函数值培养推理意识，典例与秋千摆动等实际应用强化模型意识，当堂检测巩固知识，帮助学生提升运算能力与应用能力，发展数学眼光与思维。

优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一章直角三角形的边角关系 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标： 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义； (重点) 2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；（重点） 3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小.（难点） 自主学习 一、情境导入 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖， 3个头，尖尖角，我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？ 合作探究 一、要点探究 知识点一：30°、45°、60°角的三角函数值 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 609 30e youyIoo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 归纳总结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 三角 a 30° 45° 60° 函数 sin a cos a tan a 归纳总结 1通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、 相除关系、平方关系) 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°~90°之间变化时， 正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 余弦值随着角度的增大（或减小）而 练一练 1.如果∠a是等边三角形的一个内角，则cos0= 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA= 典例精析 例1计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45° youyIoo.coM 独家授权侵权必究· 优置从书·备心教抽 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 练一练 1.求下列各式的值： (1)cos260°+sin260° cos450 (2) sin 450 -tan 45 知识点二：由特殊三角函数值确定锐角度数 填一填 sin A= 2 ∠A= ∠A= ∠A= cos4= ∠A= ∠A= ∠A= tan 4=V3 3 ∠A= ∠A= ∠A= 典例精析 例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， B AB=V6,BC=V3,求∠A的度数. 6 练一练 1.如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 √5倍，求a. youyr7oo.coM 077B 独家授权侵权必究 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2.sina<cosa,则锐角a取值范围() A.30°<0<45° B.0°<a<45 C.45°<a<60° D.0°<a<90° 知识点三：特殊三角函数值的运用 例3一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°， 且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到 0.01m) 二、课堂小结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 三角 a 30° 45° 60° 函数 1 2 sin a 5 2 2 2 cos a 5 反 1 2 2 2 tan a 3 1 5 在0°~90°内：对于sina与tana,角度越大，函数值也越大；对于cosa，角度越大，函 数值越小 youyIoo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当堂检测 1.5tan(a+20°)=1，锐角a的度数应是（) A.40° B.30° C.20° D.10° 2在△c中，老m89-0,则 ∠C=（) A.30° B.60° C.90° D.120 3.求下列各式的值： (1)1-2sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin609 (3)C0s60 1 1+sin60°tan30 4.如图，在△MBC中，∠A=30°，amh=5,4C=2, 求AB. youyrioo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：30°、45°、60°角的三角函数值 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 60° 30 45° 45 设30°所对的直角边长为a,那么斜边长为2a 另一条直角边长= V(2a)'-a =3a .sin30°= a 1 2a2 cos30=3a3 30 2a2 tan30°=aV5 3a 3 ∴.sim60°= 5a5 2a 2 c0s60°= a 2a2 tan 60=3a =5 60 2 设两条直角边长为a,则斜边长=√a+a=√2a youyrioo.com 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a ∴.sin45°= √2 V2a 2 c0s45°= √2a a tan45°==1 45 a 归纳总结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 三角 a 30° 45° 60° 函数 1 sin a 2 2 2 2 2 1 cos a 2 2 2 3 tan a 3 1 5 练一练 答案：15 2 3 典例精析 例1 解：(1)sin30°+cos45°= 121+2 22 2 (2)sin260°+cos260°-tan45° -1=0 44 youyr7oo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 注意事项： sin260°表示(sin60)2,cos260°表示(cos60)2 练一练 1. (2) cos45 tam45=25-1=0 sin 45 22 知识点二：由特殊三角函数值确定锐角度数 填一填 sin A= ∠A=30° sin A=. ∠A=60° sinA= ∠A=45 2 2 2 1 cos A= ∠A=60° √2 ∠A=459 2 cos A= 2 cos =/3 ∠A=30 2 tan A= 的 ∠A=45° 3 ∠A=30° tanA=√5 ∠A=60° tan 4=1 典例精析 例2 解：如图，AB=V6,BC=V3 B BCN5√2 ∴.sinA= vG AB 6 2 .∠A=45° A 练一练 1. A0 √30B 解：在图中，tana= OB OB =3, 。● 700B 独家授权侵权必另， 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2.B 知识点三：特殊三角函数值的运用 例3 解：如图，根据题意可知， A0D)x60°=30°，0D=25m c0s30°= OC OD 0C=0Dcos30°=-25x ≈2.165(m). 2 B ∴.AC=2.5-2.165≈0.34(m ,∴.最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 当堂检测 1.D 2.D 3 解：(1)1-2sin30°cos30 (2)3tan30°-tan45°+2sin60° 15 =1-2×-× =3xV3 +2x5 22 3 2 1、3 =5-1+5 2 =2V5-1 (3)c0s60 1 1+sin60°tan30 1 2 1 1* 2 3 =2-V3+V3 =2 4. youyrioo.coM 独家授权侵权必究· 优翼从书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解：过点C作CD⊥AB于点D, ∠A=30°，AC=2V5 '.'sin 4=CD CCD-1x25-5 .'COsA=4D 3 ,..AD= √3 ×2V3=3. AC 2 2 CD3 2 A D ·.tanB= BD=V5x2=2 BD 2' 3 .AB=AD+BD=3+2=5. youyrioo.com ·独家授权侵权必究·