1.3三角函数的计算（导学案）数学北师大版九年级下册

该初中数学导学案聚焦三角函数的计算，引导学生学习用计算器求三角函数值及根据值求锐角度数，通过回顾特殊角三角函数值，结合登山缆车问题情境，搭建从已知到未知的学习支架。 导学案采用自主学习与合作探究结合的模式，自主环节设情境问题、学法指导和例题导析，合作环节强调小组讨论计算器操作与辅助线构造，习题分层设计涵盖基础计算与实际应用，培养学生数学眼光、运算能力和应用意识，助力提升解决问题的能力。

1.3 三角函数的计算 导学案 1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. 2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算. 学习重点：熟练使用计算器来求解正弦、余弦、正切的数值. 教学难点：利用反三角函数功能求锐角度数并正确转换单位形式. 第一环节 自主学习 温故知新： 回顾30°，45°，60°角的三角函数值： 新知自研：自研课本第12--14页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少? 【分析】①缆车垂直上升的距离是线段   BC     的长度． ②本题的已知条件是    ∠α＝16°，AB＝200 m     ，需要求出的是  BC的长度   ． ③这三个量之间的关系是 sin α＝  ． 由以上分析可得： 在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200 m， 根据正弦的定义，得sin 16°＝＝， ∴BC＝ABsin 16°＝200sin16°(m). 思考：你知道sin 16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 【学法指导】 自研课本P12-114页的内容，思考： ●探究一：用计算器求三角函数值 ◆1.新知探究： 用科学计算器求三角函数值，要用到和键. ①求sin 16°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值16， 屏幕显示结果sin 16°=0.275 637 355 8 ②求cos72°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994. ③求tan30°36'. 方法一：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用键)， 屏幕显示答案：0.591 398 351； 方法二：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得： ∴BC＝200sin16°≈55.12(m). ◆2.议一议 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗?（结果精确到0.01m） 解:在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠β=42°，BD＝200 m， 根据正弦的定义，得sinβ=，即sin 42°＝， ∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m). ≈133.83（m） ◆2.练一练 用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(　　) A.0.885 7 B.0.885 6 C.0.885 2 D.0.885 1 解：A. ●探究点2：利用计算器由三角函数值求角度 ◆1.想一想 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少? 在Rt△ABC中，sinA===. 那么∠A是多少度呢？ 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 自己尝试解答. 已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： ◆2.练一练 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 【解答】解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. ●探究点3：非特殊角三角函数的应用 ◆1.做一做 如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA＝45°.因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 【解答】解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． ∴改直后的公路AB的长约为13.3千米. (2)∵AC＝10千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． ◆2.拓广探索 利用计算器算一算，比一比，你能得出什么结论？ sin15°32 ' = ． sin20°= ． sin35°= ． cos55°= ． cos70°= ． cos74°28 '= ． tan3°8 ' = ． tan80°25'43″= ． 解：sin15°32 ' =0.2678 sin20°=0.3420 sin35°=0.5736 cos55°=0.5736 cos70°=0.3420 cos74°28 '=0.2678 tan3°8 ' =0.0547 tan80°25'43″=5.930 【方法总结】从上面的数值可以看出，随着角度的增大,正弦值增大,余弦值减小,正切值增大. ◆3.知识归纳 锐角三角函数的增减性： 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 【解答】解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 注意：用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位． 例2 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)． 【分析】根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，进而得出答案． 【解答】解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝=＝1.8，解得x≈31. ∴DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． ∴塔高DE大约是81米． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何利用计算器求锐角三角函数的计算； B.交流例题的解题思路，强调如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．某同学在距电视塔BC塔底水平距离200米的A处，看塔顶C的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔BC的高约为(保留到个位)(　　) A．68米 B．73米 C．127米 D．188米 解：B． 2.如果tan α＝0.213，那么锐角α的度数大约为(　　) A．8° B．10° C．12° D．14° 解：C． 3.我们在利用计算器求sin 30°的值时，依次按键为，则计算器上显示的结果是_____ 解：0.5. 4.先用计算器探究cos 21°，cos 37°，cos 48°的值，再按由小到大的顺序排列应是_____________. 解：cos 48°＜cos 37°＜cos 21°． 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 解：280. 6.用计算器求下列三角函数值(结果精确到0.000 1)． (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″. 解： tan 63°27′≈2.001 3. cos 18°59′27″≈0.945 6. sin 67°38′24″≈0.924 8. 7.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73) 解：在Rt△BCD中，BC＝DC·tan 30°＝15×≈5×1.73＝8.65(m)， 在Rt△ACD中，AC＝DC·tan 37°≈15×0.75＝11.25(m)， ∴AB＝AC－BC≈11.25－8.65＝2.6(m)． 答：广告牌AB的高度为2.6 m． 8.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在Rt△BDE中， tan∠BDE＝，∴BE＝DE·tan39°. ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度CD约为116米． 题型一 已知角度比较三角函数值的大小 1．（2024秋•东昌府区校级月考）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1 ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 2．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【解答】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点评】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 3．若a＝cos20°，b＝sin40°，c＝cos80°，则（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【解答】解：a＝cos20°＝sin（90°﹣20°）＝sin70°，c＝cos80°＝sin（90°﹣80°）＝sin10°， 当0°＜γ＜90°时，sinγ随γ的增大而增大， ∴sin70°＞sin40°＞sin10°， ∴cos20°＞sin40°＞cos80°， ∴a＞b＞c， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系，关键是锐角三角函数的增减性的熟练掌握． 4．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【分析】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 5．（2024秋•肥西县期末）比较大小：cos45°　 　cos55°（用“＞”或“＜”填空） 【分析】根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）即可得结论． 【解答】解：∵45°＜55°， ∴cos45°＞cos55°． 故答案为＞ 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 6．（2024春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知， ∵80°＞50°， ∴sin80°＞sin50°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提． 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 7．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，且sinAsin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 8．（2024•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan60°，则tanA＞tan60°，然后根据正切值随着角度的增大而增大进行判断． 【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°， 而tanA＝2， ∴tanA＞tan60°， ∴60°＜∠A＜90°． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了特殊角的三角函数值． 9．若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 10．已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解． 【解答】解：由sinα＜cosα，得 0°＜α＜45°， 故答案为：0°＜α＜45°． 【点评】同角三角函数的关系、锐角三角函数的增减性是解题的关键． 11．已知，则锐角α的取值范围是 　 　． 【分析】α为锐角时，cosα随α的增大而减小，而cos45°＜cosα＜cos30°，即可得到答案． 【解答】解：∵cos30°，cos45°，cos， ∴cos45°＜cosα＜cos30°， ∵α为锐角时，cosα随α的增大而减小， ∴30°＜α＜45°． 故答案为：30°＜α＜45°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，关键是掌握α为锐角时，cosα随α的增大而减小． 12．（2024秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵∠A为锐角， ∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小， ∵cosA时， ∴30°＜∠A＜60°． 故答案为：30°＜∠A＜60°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型三 利用计算器求三角函数值 13．（2024•招远市模拟）若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按科学计算机的使用方法按键即可． 【解答】解：∵tanA＝0.1890， ∴利用科学计算器求∠A的度数，按键顺序为：2ndF﹣tan﹣0.1890﹣＝． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键． 14．（2024•高青县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用直角三角形的边角间关系用BC、tan∠ABC表示出AC，再确定正确答案． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵tan∠ABC， ∴AC＝BC•tan∠ABC ＝6×tan26°． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 15．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（　　） A．36.79°的正切函数值约为88.4 B．正切函数值为36.79的角约是88.4 C．36°79′的正切函数值约为88.4 D．正切函数值为36.79的角约是88°4′ 【分析】根据计算器的使用方法进行解题即可． 【解答】解：根据计算器的使用方法可知， 正切函数值为36.79的角约是88.4． 故选：B． 【点评】本题考查计算器﹣三角函数，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 16．用计算器求sin50°的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据计算器﹣三角函数，即可解答． 【解答】解：用计算器求sin50°的值，按键顺序是 故选：B． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 17．（2024秋•牟平区期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据计算器的使用方法进行分析即可． 【解答】解：sinα0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：B． 【点评】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 18．（2024秋•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】知道了∠A的对边和斜边，用∠A的正弦，知道正弦值是0.25，求∠A，即可得出答案． 【解答】解：sinA0.25， 故选：A． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，掌握sinA是解题的关键． 题型四 构造直角三角形求锐角函数值 19．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 【分析】根据等腰三角形的周长，底边长，可得腰长，根据勾股定理，可得底边上的高，根据正切函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，周长为36cm， 则AB＝AC＝（36﹣10）÷2＝13cm． 作AD⊥BC于D点，则BD＝CD＝5cm， 由勾股定理得，AD＝12cm， 所以底角的正切值tan∠ABC． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出底边上的高是解题的关键． 20．如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，作DE∥AC交AB于E．由tanB可以假设AD＝5k，AB＝3k，推出BDk，CDk，想办法求出AE即可解决问题． 【解答】解：如图，作DE∥AC交AB于E． 在Rt△ABD中，tanB， ∴可以假设AD＝5k，AB＝3k， ∴BDk，CDk， ∵DE∥AC， ∴∠DAC＝∠ADE，， ∴BE＝2k， ∴AE＝k， ∴tan∠CAD＝tan∠ADE， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出BD、AD，再利用直角三角形的边角间关系求出∠BAD的余弦，最后利用直角三角形的两个锐角互余说明∠BAD＝∠BDE． 【解答】解：连接AD． ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝3． ∴∠BAD＝90°﹣∠B， AD4． ∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°﹣∠B． ∴∠BAD＝∠BDE． 在Rt△ABD中，cos∠BAD， ∴cos∠BDE＝cos∠BAD． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一、“直角三角形的两个锐角互余”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 22．在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，将求sin∠DBA的问题转化到Rt△BDE中求解，即求的值，设AB＝2x，则AC＝x，BC，又△ABC，△ADE都是30°的直角三角形，可求DE，用勾股定理可求BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴sinA， 设AB＝2x，则AC＝x，BC， 又∵D是边AC的中点， ∴AD＝CD， 在Rt△DBC中，BD2＝BC2+CD2， ∴BD， 在Rt△ADE中，DE＝AD•sinA， 在Rt△BDE中，sin∠DBA． 故本题答案为：． 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值． 23．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB＝10，sinB， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝（2）2﹣62＝16， ∴CD＝4， ∴tanC； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴由勾股定理得BD＝8， 由（1）得CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝12． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 24．每年的秋冬季，万州就呈现出高峡平湖、水天一色的壮美画面．某个周末，小明和小华相约去南滨公园A游玩，小华家C在小明家B正北方向，南滨公园A在小明家B的北偏西30°方向上、在小华家C的北偏西75°方向上，已知小明家B与小华家C距离为1800米． （1）求南滨公园A与小明家B距离为多少米？（结果保留根号） （2）在小明家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，所以小明到南滨公园A只能走路线B→D→M→A．若他早上8：30从家出发，以120米/分钟的速度慢跑到南滨公园A，请问他能在9：00前到达南滨公园A吗？（参考数据：， 【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出BH，再根据等腰直角三角形的性质求出AH，进而求出AB； （2）根据线段中点的定义求出AM、BM，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出DM，再求出小明需要走的路程、小明慢跑的路程，判断即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB于H， 在Rt△CHB中，∠CBH＝30°，BC＝1800米， 则CHBC＝900（米），BH＝BC•cos∠CBHBC＝900（米）， 由三角形的外角性质可知：∠A＝75°﹣30°＝45°， ∴AH＝CH＝900米， ∴AB＝AH+BH＝（900+900）米， 答：南滨公园A与小明家B距离为（900+900）米； （2）∵点M是AB的中点， ∴AM＝MB＝（450+450）米， ∵MD∥BC， ∴∠BMD＝∠ABC＝30°， ∴BDBM＝（225+225）米，DMBM＝（225675）米， ∴小明需要走的路程为：BD+DM+MA＝225+225225675+450+4502907（米）， 小明以120米/分钟的速度慢跑30分钟的距离为：120×30＝3600（米）， ∵3600＞2907， ∴他能在9：00前到达南滨公园A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． ▲1、用计算器求锐角的三角函数值或角的度数，不同的计算器操作步骤可能有所不同. ▲2、利用计算器探索锐角三角函数的增减性： 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 三角函数的计算 导学案 1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. 2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算. 学习重点：熟练使用计算器来求解正弦、余弦、正切的数值. 教学难点：利用反三角函数功能求锐角度数并正确转换单位形式. 第一环节 自主学习 温故知新： 回顾30°，45°，60°角的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 新知自研：自研课本第12--14页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 问题：如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少? 【分析】①缆车垂直上升的距离是线段        的长度． ②本题的已知条件是          ，需要求出的是    ． ③这三个量之间的关系是    ． 思考：你知道sin 16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？ 【学法指导】 自研课本P12-114页的内容，思考： ●探究一：用计算器求三角函数值 ◆1.新知探究： 用科学计算器求三角函数值，要用到和键. ①求sin 16°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值  ， 屏幕显示结果sin 16°=0.275 637 355 8 ②求cos72°． 第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值  ， 屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994. ③求tan30°36'. 方法一：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值  ，分值  (可以使用键)， 屏幕显示答案：0.591 398 351； 方法二：第一步：按计算器键， 第二步：输入角度值  （因为30°36'＝  °） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得： ∴BC＝200sin16°≈55.12(m). ◆2.议一议 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗?（结果精确到0.01m） ◆2.练一练 用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(　　) A.0.885 7 B.0.885 6 C.0.885 2 D.0.885 1 ●探究点2：利用计算器由三角函数值求角度 ◆1.想一想 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少? 那么∠A是多少度呢？ 自己尝试解答. ◆2.练一练 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 【解答】 ●探究点3：非特殊角三角函数的应用 ◆1.做一做 如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA＝45°.因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 【解答】 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造 ，利用三角函数关系求出有关线段的长． ◆2.拓广探索 利用计算器算一算，比一比，你能得出什么结论？ sin15°32 ' = ． sin20°= ． sin35°= ． cos55°= ． cos70°= ． cos74°28 '= ． tan3°8 ' = ． tan80°25'43″= ． 【方法总结】从上面的数值可以看出，随着角度的增大,正弦值 ,余弦值 ,正切值 ． 锐角三角函数的增减性： 正弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ）; 正切值随着角度的增大（或 ）而增大（或 ）. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 【解答】 注意：用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到 ． 例2 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)． 【分析】根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出 的长，进而得出答案． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何利用计算器求锐角三角函数的计算； B.交流例题的解题思路，强调如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．某同学在距电视塔BC塔底水平距离200米的A处，看塔顶C的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔BC的高约为(保留到个位)(　　) A．68米 B．73米 C．127米 D．188米 2.如果tan α＝0.213，那么锐角α的度数大约为(　　) A．8° B．10° C．12° D．14° 3.我们在利用计算器求sin 30°的值时，依次按键为，则计算器上显示的结果是_____ 4.先用计算器探究cos 21°，cos 37°，cos 48°的值，再按由小到大的顺序排列应是_____________. 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 6.用计算器求下列三角函数值(结果精确到0.000 1)． (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″. 7.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73) 8.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 题型一 已知角度比较三角函数值的大小 1．（2024秋•东昌府区校级月考）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 2．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若a＝cos20°，b＝sin40°，c＝cos80°，则（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 4．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024秋•肥西县期末）比较大小：cos45°　 　cos55°（用“＞”或“＜”填空） 6．（2024春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 7．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 8．（2024•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 9．若是锐角，，则应满足 ． 10．已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 11．已知，则锐角α的取值范围是 　 　． 12．（2024秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 题型三 利用计算器求三角函数值 13．（2024•招远市模拟）若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•高青县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 15．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（　　） A．36.79°的正切函数值约为88.4 B．正切函数值为36.79的角约是88.4 C．36°79′的正切函数值约为88.4 D．正切函数值为36.79的角约是88°4′ 16．用计算器求sin50°的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 17．（2024秋•牟平区期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 18．（2024秋•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四 构造直角三角形求锐角函数值 19．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 20．如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 22．在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 23．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 24．每年的秋冬季，万州就呈现出高峡平湖、水天一色的壮美画面．某个周末，小明和小华相约去南滨公园A游玩，小华家C在小明家B正北方向，南滨公园A在小明家B的北偏西30°方向上、在小华家C的北偏西75°方向上，已知小明家B与小华家C距离为1800米． （1）求南滨公园A与小明家B距离为多少米？（结果保留根号） （2）在小明家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，所以小明到南滨公园A只能走路线B→D→M→A．若他早上8：30从家出发，以120米/分钟的速度慢跑到南滨公园A，请问他能在9：00前到达南滨公园A吗？（参考数据：， ▲1、用计算器求锐角的三角函数值或角的度数，不同的计算器操作步骤可能有所不同. ▲2、利用计算器探索锐角三角函数的增减性： 正弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ）; 正切值随着角度的增大（或 ）而增大（或 ）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $