3.1 圆（导学案）数学北师大版九年级下册

3.1 圆 导学案 1.理解确定圆的条件及圆的表示方法。 2.掌握圆的基本元素的概念。 3.掌握点和圆的三种位置关系。 学习重点：确定圆的必要条件（圆心与半径）及圆的表示方法，各基本元素的概念。 学习难点：点与圆位置关系的灵活运用，以及在具体情境中快速做出判断。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 思考：车轮为什么做成圆形? 你知道怎样利用直角尺检查某些工件恰好为半圆形吗？用一张三角形的纸片，你能裁出一个尽可能大的圆吗？ 与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形.本章将运用我们以前学习过的对称、平移、旋转以及证明等方法研究圆的有关性质，并利用这些知识解决一些实际问题. 2.情景引入 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶．如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形才公平？ 新知自研：自研课本第65--66页的内容． 【学法指导】 自研课本P65-66页的内容，思考： ●探究一：圆的概念 ◆1.议一议 （1）前面我们已经认识了圆.观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ （2）圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”. （3）有关概念 固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ，一般用 表示． ◆2.思考 问题：从画圆的过程可以看出什么呢？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 ． （3）圆的集合定义：圆可以看成是平面上到的距离等于 的所有点 组成的图形．定点就是 ，定长就是 . 注意：①从圆的定义可知:圆是指圆周而不是 . ②确定圆的要素是： 、 （两者缺一不可）. ◆3.练一练 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. 【解答】 ●探究二：圆的有关概念 ◆1.知识归纳 （1）弦：连接圆上任意两点的 （如图中的AB）叫做弦. 经过 （如图中的CD）叫做直径． 注意：①弦和直径都是 . ②直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中 的弦，但弦 是直径. （2）弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧． ①以A、B为端点的弧记作 ，读作“ ”或“ ”． ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ． （3）劣弧与优弧： ① 半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ; ② 半圆的弧叫做优弧.如图中的. （4）等圆与等弧 ①能够 的两个圆叫做等圆. ②在 中，能够互相重合的弧叫做等弧. 思考：长度相等的弧是等弧吗？ ◆2.练一练 如图 (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; 【解答】 (2) 请写出以点A为端点的弦及直径. (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧 ●探究三：点和圆的位置关系 ◆1.想一想 如图所示，☉O是一个半径为r的圆，在圆内、圆外、圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？ 思考：（1）在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系？ （2）怎样来确定点与圆的位置关系呢？ ◆2.练一练 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 ◆3.知识归纳 点和圆的位置关系 点在圆内： . 点在圆上： . 点在圆外： . 点P在圆环内: . 数形结合：位置关系数量关系 ◆4.做一做 设AB=3cm，画图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形. （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。 总结：满足条件的点一般以圆周为分界线，要分清是否包括边界. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的中点，以点A为圆心，AC长为半径作圆，请说明点B、D、C、E与⊙A的位置关系． 【分析】先根据勾股定理求出 的长,再由点D、E分别为BC、AB的中点求出 、 的长,然后利用点和圆的位置关系可解答. 【解答】 例2 如图，CD是⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连接OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的度数． 【分析】由AB=OC得到AB= ,则∠A= ,而∠2= ,因此∠DOE= ∠A,即可求出∠DOE. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆的认识和相关的概念，点和圆的三种位置关系； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列说法中，正确的是(　　) A.弦是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径 D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d不大于r，则点P在(　　) A.在⊙O内 B.在⊙O外 C.不在⊙O内 D.不在⊙O外 3.A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是(　　) A. AB＞0 B.0＜AB＜5 C. 0＜AB＜10 D.0＜AB≤10 4.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在(　　)；点B在(　　)；点C在(　　). 5. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是(　　) . 6.如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共有(　　)条弦，它们分别是(　　)． 7.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. 8.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 题型一 圆的概念 1．下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 2．到定点的距离等于定长的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 3．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 题型二 与圆有关的概念 5．下列判断正确的是（　　） A．两端点都在圆上的线段叫作直径 B．通过圆心的线段叫作直径 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 6．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，是圆O弦的是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 8．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 确定圆的条件 9．能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 10．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 11．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 题型四 点和圆的位置关系 12．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 13．（2024•滨海新区模拟）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10 14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 15．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 题型五 圆中有关的计算 16．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 18．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（　　） A． B． C．13 D． 题型六 圆中线段长度的证明 19．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC． 20．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF． 求证：AF＝BE． 21．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC． ▲1.圆的定义 （1）圆的旋转定义：圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”. （2）圆的集合定义：圆可以看成是平面上到的距离等于 的所有点 组成的图形．定点就是 ，定长就是 . ▲2.圆的有关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的 （如图中的AB）叫做弦. 经过 （如图中的CD）叫做直径． 注意：①弦和直径都是 . ②直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中 的弦，但弦 是直径. （2）弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧． ①以A、B为端点的弧记作 ，读作“ ”或“ ”． ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ． （3）劣弧与优弧： ① 半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ; ② 半圆的弧叫做优弧.如图中的. （4）等圆与等弧 ①能够 的两个圆叫做等圆. ②在 中，能够互相重合的弧叫做等弧. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 圆 导学案 1.理解确定圆的条件及圆的表示方法。 2.掌握圆的基本元素的概念。 3.掌握点和圆的三种位置关系。 学习重点：确定圆的必要条件（圆心与半径）及圆的表示方法，各基本元素的概念。 学习难点：点与圆位置关系的灵活运用，以及在具体情境中快速做出判断。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 思考：车轮为什么做成圆形? 你知道怎样利用直角尺检查某些工件恰好为半圆形吗？用一张三角形的纸片，你能裁出一个尽可能大的圆吗？ 与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形.本章将运用我们以前学习过的对称、平移、旋转以及证明等方法研究圆的有关性质，并利用这些知识解决一些实际问题. 2.情景引入 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶．如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形才公平？ 新知自研：自研课本第65--66页的内容． 【学法指导】 自研课本P65-66页的内容，思考： ●探究一：圆的概念 ◆1.议一议 （1）前面我们已经认识了圆.观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ （2）圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”. （3）有关概念 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示． ◆2.思考 问题：从画圆的过程可以看出什么呢？ （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长r． （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． （3）圆的集合定义：圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点就是圆心，定长就是半径. 注意：①从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面. ②确定圆的要素是：圆心、半径（两者缺一不可）. ◆3.练一练 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. ●探究二：圆的有关概念 ◆1.知识归纳 （1）弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AB）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的CD）叫做直径． 注意：①弦和直径都是线段. ②直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． ①以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）劣弧与优弧： ①小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ; ②大于半圆的弧叫做优弧.如图中的. （4）等圆与等弧 ①能够重合的两个圆叫做等圆. ②在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 思考：长度相等的弧是等弧吗？ 长度相等的弧不一定是等弧。 ◆2.练一练 如图 (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; 【解答】解：劣弧： 优弧： (2)请写出以点A为端点的弦及直径. 解：弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧 解：答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 ●探究三：点和圆的位置关系 ◆1.想一想 如图所示，☉O是一个半径为r的圆，在圆内、圆外、圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？ 思考：（1）在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系？ 解：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. （2）怎样来确定点与圆的位置关系呢？ 解：可以通过比较点到圆心的距离d和半径r的大小关系来确定． 点在圆外，即d＞r；点在圆上，即d=r；点在圆内，即d＜r. 反过来，已知点到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系. ◆2.练一练 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 解：D ◆3.知识归纳 点和圆的位置关系 点在圆内：； 点在圆上：； 点在圆外：. 点P在圆环内:r＜d＜R 数形结合：位置关系数量关系 ◆4.做一做 设AB=3cm，画图说明满足下列要求的图形： （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形. （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。 解：(1)如图，分别以点A和B为圆心，2 cm为半径画☉A与☉B，两圆的交点C、D即为所求； (2)如图，分别以点A和点B为圆心，2 cm为半径画☉A与☉B，两圆的重叠部分(不包括边线)即为所求． 总结：满足条件的点一般以圆周为分界线，要分清是否包括边界. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的中点，以点A为圆心，AC长为半径作圆，请说明点B、D、C、E与⊙A的位置关系． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长,再由点D、E分别为BC、AB的中点求出AD、AE的长,然后利用点和圆的位置关系可解答. 【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝＝6. ∵AB＝10＞6， ∴点B在⊙A外； ∵在Rt△ACD中，∠C＝90°， ∴AD＞AC， ∴点D在⊙A外； ∵AC＝AC， ∴点C在⊙A上； ∵E为AB的中点， ∴AE＝AB＝5＜6， ∴点E在⊙A内． 例2 如图，CD是⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连接OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的度数． 【分析】由AB=OC得到AB=BO,则∠A=∠1,而∠2=∠E,因此∠DOE=3∠A,即可求出∠DOE. 【解答】解：如图连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠A＝∠1. 又∵∠2＝∠A＋∠1， ∴∠2＝2∠A. ∵OB＝OE， ∴∠2＝∠E， ∴∠E＝2∠A， ∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论圆的认识和相关的概念，点和圆的三种位置关系； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列说法中，正确的是(　　) A.弦是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径 D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 解：B． 2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d不大于r，则点P在(　　) A.在⊙O内 B.在⊙O外 C.不在⊙O内 D.不在⊙O外 解：D． 3.A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是(　　) A.AB＞0 B.0＜AB＜5 C.0＜AB＜10 D.0＜AB≤10 解：D. 4.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在(　　)；点B在(　　)；点C在(　　). 解：圆内，圆上，圆外． 5. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是(　　) . 解：7cm或3cm 6.如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共有(　　)条弦，它们分别是(　　)． 解：，AE，DC，AD 7.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. 解:如图所示阴影部分即为所求. 8.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ 解：(1)AD=4=r，故D点在⊙A上, AB=3<r，故B点在⊙A内, AC=5>r，故C点在⊙A外. （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 解：3<r<5 题型一 圆的概念 1．下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的定义分析即可． 【解答】解：根据题意得，B图形为圆． 故答案为：B． 【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键． 2．到定点的距离等于定长的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【分析】根据圆的定义作答． 【解答】解：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 故选：C． 【点评】考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 3．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的有关定义进行解答． 【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识．解题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上． 【分析】连结OC、OD，由直角三角形斜边上的中线定理得OA＝OB＝OC＝ODAB，则可得出结论． 【解答】证明：连结OC，OD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O， ∴OA＝OB＝OC＝ODAB， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 题型二 与圆有关的概念 5．下列判断正确的是（　　） A．两端点都在圆上的线段叫作直径 B．通过圆心的线段叫作直径 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 【分析】根据圆的直径的定义进行分析解答． 【解答】解：A、两端点都在圆上且经过圆心的线段叫作直径，故不符合题意； B、经过圆心的弦叫直径，故不符合题意； C、在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径，故符合题意； D、所有等圆的直径都相等，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的认识，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 6．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意； ②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意， 故选：C． 【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大． 7．如图，是圆O弦的是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AE D．线段DE 【分析】根据弦的定义确定答案即可． 【解答】解：弦是圆上两点间的线段，图中AB是弦，其他均不是， 故选：A． 【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大． 8．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫弦）作答． 【解答】解：⊙O中的弦有：弦BD，弦AB，弦CD，共有3条． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的认识，在圆中，直径是最长的弦． 题型三 确定圆的条件 9．能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心， 故选A． 【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键． 10．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 11．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个． 【解答】解：根据题意作图如下， 由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力． 题型四 点和圆的位置关系 12．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在⊙O外． 故选：B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 13．（2024•滨海新区模拟）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，判断即可得到问题的选项． 【解答】解：∵⊙O的直径为10 ∴⊙O的半径为5， ∵直线l与⊙O相交， ∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC，再利用面积法计算出DE； （2）利用B、C、D、E到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD5， ∵AC•DEDC•AD， ∴DE； （2）∵AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 15．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． （1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴AC＝10cm， ∵⊙A的半径为6cm长， ∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外； （2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm． 故答案为：6cm＜r＜10cm． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 题型五 圆中有关的计算 16．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案． 【解答】解：如图： 连接OB，则OB＝OD， ∵OCOD， ∴OCOB， ∵OC⊥AB， ∴∠OBC＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∠ABD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【解答】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（　　） A． B． C．13 D． 【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可． 【解答】解：连接DO. ∵CO＝3，OF＝1， ∴CF＝4， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4， ∴OD5， ∴OB＝OD＝5， ∴CB＝CO+OB＝8， ∴BD4． 故选：B． 【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型六 圆中线段长度的证明 19．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC． 【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC． 【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径， ∴AO＝BO， ∵C、D分别是半径OA、BO的中点， ∴OC＝OD， 在△OCB和△ODA中， ， ∴△OCB≌△ODA（SAS）， ∴AD＝BC． 【点评】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS． 20．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF． 求证：AF＝BE． 【分析】根据AB、CD为⊙O中两条直径，得出OA＝OB，OC＝OD，再根据CE＝DF，得出OE＝OF，从而证出△AOF和△BOE全等，即可得出答案． 【解答】解：∵AB、CD为⊙O中两条直径， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∵CE＝DF， ∵OC﹣CE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴AF＝BE． 【点评】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出△AOF和△BOE全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质． 21．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于E、F，联结EF并延长交BC于G，EG⊥BC．求证：AB＝AC． 【分析】先利用AE＝AF，然后根据等角的余角相等得到∠B＝∠C，从而得到AB＝AC． 【解答】证明：∵AE＝AF， ∴∠E＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠E＝∠CFG， ∵EG⊥BC， ∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠CFG＝90°， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查了圆的认识：通常利用半径相等得到等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质解决问题． ▲1.圆的定义 （1）圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”. （2）圆的集合定义：圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点就是圆心，定长就是半径. ▲2.圆的有关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AB）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的CD）叫做直径． （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． ①以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）劣弧与优弧： ①小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ; ②大于半圆的弧叫做优弧.如图中的. （4）等圆与等弧 ①能够重合的两个圆叫做等圆. ②在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $