2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球的实际问题导入，复习二次函数表达式，引导学生思考落地时间的求解方法，搭建从实际情境到数学模型的学习支架，衔接旧知与新知。 以数形结合为核心，通过三个二次函数图象与方程根的对比探究，培养学生几何直观和推理意识。设置中考链接和实际应用题，强化模型意识与应用意识，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升解决实际问题的能力。

第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 学习目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点) 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点) 3．通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点) 自主学习 一、复习回顾 竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示： h＝－5t2 +v0t + h0，v0为抛出时的速度，h0为抛出时的高度，一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示. 那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？ 与同伴进行交流. 合作探究 1、 要点探究 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示. 与同伴交流并回答问题. （1）二次函数图象 y = x2 + 2x与x轴有几个交点？ 一元二次方程 x2 + 2x = 0有几个根？ （2）二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？ 一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？ （3）二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？ 一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？ 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 议一议 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系? 链接中考 1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________. 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m ？你是如何知道的？ 二、课堂小结 当堂检测 1. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = ； 2. 一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 . 3. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 4. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 该同学把铅球推出去多远？ 参考答案 一、创设情境，导入新知 答案： (1) h = －5t2＋40t； (2) ① 由图象可知 8 秒后小球落地. ②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8 t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 . 答案：（1）两个交点； 解：x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ∴ x(x + 2) = 0. ∴ x1 = 0，x2 = -2. 则有两个根 （2）一个交点； 解：x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 ∴ x - 1 = 0. ∴ x1 = x2 = 1. 则有两个相同的根. （3）没有交点； 解：∵ Δ = b2 - 4ac= (-2)2 - 4×1×2= - 4＜0 ∴ 原方程无实数根. 则有没有根. 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 议一议 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系? 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 链接中考 1. 答案：a≥-1 且 a≠0 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？ 解：令 h = 60，-5t2 + 40t = 60 t2 - 8t + 12 = 0 (t - 2)(t - 6) = 0 t1 = 2，t2 = 6 当堂检测 1. 答案：-1. 2.答案：（－2，0），（，0） 3. 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数． ∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3； 当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数． ∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 4. 学科网（北京）股份有限公司 $