2.4 第2课时 商品利润最大问题（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数的应用，核心内容为商品利润最大问题。通过复习回顾类比几何最值问题导入，引导学生建立前后知识联系，搭建从已有知识到新内容的学习支架。 资料以服装厂、旅馆等实际问题为载体，引导学生抽象数量关系构建二次函数模型，培养数学眼光和模型意识。例题解析、中考链接及当堂检测分层设计，助力提升运算能力与推理意识，帮助学生掌握用数学思维解决实际最值问题的方法。

优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第二章！ 二次函数 2.4二次函数的应用 第2课时商品利润最大问题 学习目标： 1.应用二次函数解决实际问题中的最值问题；（重点） 2.应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到 函数关系，再求最值.（难点） 自主学习 一、复习回顾 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 合作探究 一、要点探究 知识点一：利润最大问题 例1服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元根据市场调查，以单价13元批发给经 销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 例2某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发 现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因 素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是 多少？ youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 归纳总结 议一议 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x (棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式： y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000. (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. 个 60600 60500 60400 60300 60200 60100 600005 0 5101520x/棵 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 链接中考 1.(泰兴市期末)一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可 知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克：若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千 克：若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价.设该商品的价格为x元 千克时，一天销售总质量为y千克 (I)求y与x的函数关系式 (2)若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售(x>8),试求出水果店每天利 b成壶成2格折 函数关系式，并求出当为值时利润达到最大 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+敦辅专家 二、课堂小结 建立函数 总利润=单件利润×销 关系式 售量或总销量=总售价 总成本 确定自变 涨价：要保证销售量≥0； 最大利 量的取值 ◆ 降价：要保证单件利润 润问题 范 围 ≥0. 利用配方法或公式求最 确定最大 大值或利用函数简图和 利 润 性质求出。 当堂检测 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售， 可卖出(600一20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为」 元 2.某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价×（元）与产品的销售量y(件) 满足当x=130时，y-70,当x=150时，y=50,且y是x的一次函数，为了获得最大利润 S(元)，每件产品的销售价应定为() A.160元 B.180元C.140元D.200元 3.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y=ax2+bx-75.其 图象如图 (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ youyI1oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教甜 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 参考答案 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：利润最大问题 例1 解：设厂家批发单价是为x元，获利y元 13-x≥0，且x>10,∴.10<x≤13. y=(x-10)5000+13×500=-50006-12y+200 0.1 故厂家批发单价为12元时，获利最多，为20000元 方法二：解：设每件降价a元，获利y元 :a<13-10,且a≥0，∴.0≤a<3. y=(13-4-10)5000+0×500 0.1 =-5000(a-1)2+20000 ∴.当a=1时，y最大=20000. ∴.批发单价为13一1=12（元）. 故厂家批发单价为12元时，获利最多，为20000元 例2 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总 收入为y元，则 y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440 ,x≥0，且120-6x>0,.0≤x<20. 当x=2时，y最大=19440. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元） 因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元. 议一议 youyI7oo.coM 独家授权侵权必究 优翼公书·舒心教轴 优翼文化资源·版权所有·禁止转载 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 (1)y个↑ 60600F 60500 60400 60300 60200 60100 60000 0 5 101520 x/棵 (2) 个 5x2+100x+60000=60400 60600 60500 x=10-2W5≈5.5 60400 60300 x2=10+2W5≈14.5 6020( ∴.增种6-14棵橙子树可以使 6010 橙子的总产量在60400个以 60000 上. O 20 x/棵 链接中考 1 解：()由题意可得，y=60-x-12 ×2=-4x+108. 0.5 (2)由题意可得，w=yx-8)=(-4x+108)x-8) =-4x2+140x-864=-4 35 +361 >8,-4<0, 2 35 ∴.当x=二时，利润w有最大值，最大值为361 2 35 答：当x=二时，利润最大 当堂检测 1.答案：25 2. ò0.cOMm 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 3. 00.c0m 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ,-1<0,对称轴x=10, ∴.当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元； (2)由对称性知y=16时，x=7和13 故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元. 优翼 www.youyi100.com 优蜜 www.youyi100.com 优翼 www.youyi100.com ·独家授权侵权必究