2.3 确定二次函数的表达式（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦“确定二次函数的表达式”，涵盖一般式、顶点式、交点式三种形式及待定系数法。通过复习一次函数和反比例函数的待定系数法，类比引出二次函数表达式的确定方法，搭建前后知识联系的学习支架。 此资料以核心素养为导向，通过情境导入（如推铅球问题）、小组合作探究、中考真题链接等方式，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。例如用顶点式解决铅球运动问题，补充对称点求解析式拓展思维，提升学生分析解决问题能力，助力教师高效开展教学。

九年级下册教案 2.3 确定二次函数的表达式 教学内容 2.3 确定二次函数的表达式 课时 1 核心素养目标 1.掌握二次函数解析式的三种形式，理解求二次函数解析式的方法及步骤 2.通过举例—思考—归纳，让学生能结合所给条件恰当选择二次函数解析式的形式，达到简便运算，顺利解决问题的目的，同时提高学生分析、探索、归纳、概括的能力; 3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程， 使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯. 知识目标 1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法； 2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化． 教学重点 通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法. 教学难点 能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数y = (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 答：一次函数 y = kx + b (k≠0)：2 个待定系数，需要 2 个点坐标 反比例函数y = (k≠0)：1 个待定系数，需要 1 个点坐标 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 答：待定系数法：(1) 设：表达式； (2) 代：坐标代入； (3) 解：方程(组)； (4) 还原：写出解析式. 想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？ 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：顶点法求二次函数的表达式 合作探究 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示， 其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 教师提出要求: (1) 不需要立马计算答案，而是要根据条件马上思 考，使用二次函数哪一种表达形式来解题最简单。 (2) 你能想出多种解题方法吗? 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 知识点二：特殊条件的二次函数的表达式 例1 已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点 (2，3)和 (－1，－3)， 求这个二次函数的表达式． 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3. 对板演的内容进行评价纠错。 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)， 3 = 4a + c， －3 = a + c， 解得 a = 2， c =－5. ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5. 做一做 已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)， 求这个二次函数的表达式. 师生活动： 学生分小组交流讨论，最后小组代表发言。老 师巡回指导各组完成情况，并及时给与指点。 学生可能会根据条件，设二次函数的解析式 y=ax2+bx+c，把点(0，1)，(2，5)，(-2， 13) 代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能 有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等 形式解决. 解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1， 因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1. ∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)， 5 = 4a + 2b + 1， 13 = 4a - 2b + 1. 解得 a = 2， b = -2， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1. 想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 知识点三：特殊条件的二次函数的表达式 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗? 合作探究 例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 链接中考 1. (武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 知识点四：交点法求二次函数的表达式 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 预设： 知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)， 求这个二次函数的解析式. 教师提出要求: (3) 不需要立马计算答案，而是要根据条件马上思 考，使用二次函数哪一种表达形式来解题最简单。 (4) 你能想出多种解题方法吗? 解：设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1. 再把点 (1，2) 代入上式得 ∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，解得 a = -1. ∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1， 即 y = -x2 + 3x + 1. 对于以上的探究师生共同归纳总结： 3、 当堂练习，巩固所学 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . 设计意图：通过复习一次函数和反比例函数，引导得出函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式，为后文做铺垫. 设计意图：此处设置问题，一方面让学生讨论得出表达式，让学生学会合作，另一方面，通过讨论得出确定二次函数表达式的方法，学生得出结论：确定二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通常需要3个条件；当知道顶点坐标(h，k) 和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式y＝a(x－h)2＋k可以确定二次函数的关系式由特殊到一般. 同时规范学生的答题过程. 设计意图：本例的二次函数表认式是一种特殊形式，即一次项系数为0，可以用二元一次方程组求解. 设计意图：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不 同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)确定二次函数需要三个条件、但由于这个二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1，因此可设y＝ax2＋bx＋1把已知的二点代入关系式求出a，b的值即可. 设计意图：希望培养学生 碰到新问题时，能有正确 的思考程序，学会类比思 考，将新问题一点一点的联系到学过的知识上去。 设计意图：通过中考的例题让学生明白在选取点的时候注意选择整数点. 设计意图：通过一个实例，通过一元二次方程和图象解释交点法是怎样产生的，并且使用交点法的特点是什么. 设计意图：此例求二次函数的表达式，让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，可以一般式，顶点式，还可以根据对称轴对称的两点坐标的形式设平移后的交点式. 学生对于对称轴对称的两点坐标的形式设平移后的交点式，这种形式比较陌生，老师可以对其解释，师生一起共同研究过程. 设计意图：考查学生对选取适当的方法求解函数的表达式的运用. 板书设计 确定二次函数的表达式 待定系数法确定二次函数表达式的步骤： (设—列—解—答) 用顶点式y＝a(x－h)2＋k确定二次函数关系式; 用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)确定二次函数; 顶点式 y = a(x－x1)(x－x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 课后小结 教学反思 二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 学科网（北京）股份有限公司 $