2.4 第1课时 最大面积问题-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数的最大面积问题，通过复习二次函数最值求法（顶点坐标公式及a的符号影响）搭建知识支架，以直角三角形荒地设计矩形鱼塘的实际问题引入新课，衔接新旧知识。 资料以生活实例（窗户设计、篱笆围矩形等）为载体，培养学生数学眼光（几何直观、抽象能力）和数学思维（推理能力、运算能力），通过建立二次函数模型解决问题强化模型意识。教学过程层层递进，实例丰富，助力学生提升问题解决能力，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第二章 二次函数 4 二次函数的应用 第1课时 最大面积问题 【教学目标】 1．经历最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．　 2．能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数知识求出最大值，增强解决问题的能力． 　 【教学重点】 经历最大面积的探索过程，掌握解决这类问题的一般步骤． 【教学难点】 确定自变量的取值范围． 【教学过程】 1. 复习引入 想一想：如何求出二次函数 y = ax2+bx+c的最小（大）值？ 由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当x=−时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值y= 当自变量的取值范围是全体实数时， (1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值． 2. 新课讲解 小兰家屋后有一块直角三角形的荒地（如图）.爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼 .小兰帮助爷爷设计了方案：在直角三角形内部作了一个矩形ABCD，AB、AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB = x m，用含x的代数式表示AD. （2）设矩形面积为y㎡，当AB为多少时，鱼塘面积最大，最大面积是多少？ 3. 典例分析 例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)? 此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 4. 课堂练习 （1）如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．32 m2　 B．36 m2　 C．48 m2　 D．64 m2 第1题图 第2题图 （2）用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( ) A．m2 B． m2 C．2 cm2 D．4 cm2 （3）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大． 第3题图 第4题图 （4）如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2． （5）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？ （6）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式; （2）有-条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥? 5.课堂小结 6.布置作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $