2.3 确定二次函数的表达式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数表达式的确定，通过复习一次函数、反比例函数的待定系数法，类比引出二次函数的顶点式、一般式等形式及所需点的数量，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，结合推铅球等实例引导学生用数学眼光观察现实问题，通过不同表达式的选择与方程组求解培养数学思维，以“设、代、解、还原”规范步骤强化数学语言表达，助力学生掌握方法培养思维，教师教学更高效。

2.3 确定二次函数的表达式 第二章 二次函数 九年级下册数学（北师版） 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数 (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 2 个待定系数，需要 2 个点坐标 1 个待定系数，需要 1 个点坐标 复习回顾 想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？ 二次函数 y＝ax2＋bx y＝ax2 y＝ax2＋c y＝ax2＋bx＋c y = a(x - h)2 + k 顶点坐标 + 另一点坐标 两个点坐标 两个点坐标 一个点坐标 三个点坐标 一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗? 1 顶点法求二次函数的表达式 合作探究 分析：观察图象，已知顶点坐标为(4，3)，则设抛物线为顶点式 y = a(x - h)2 + k . 再在图象找一点坐标(10，0). 探究新知 1.设：表达式 2.代： 坐标代入 3.解：方程 4.还原： 写出表达式 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 + k， 把顶点 (4，3) 代入 y = a(x - h)2 + k 得 y = a(x - 4)2 + 3， 再把点 (10，0) 代入上式得 a(10 - 4)2 + 3 = 0， 解得 a = -. ∴二次函数的表达式是 y = -(x - 4)2 + 3或 y = - x2 + x + . 1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 针对训练 ∴ 　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)， 3 = 4a + c， －3 = a + c， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5. a = 2， c=－5. 解得 { 关于 y 轴对称 { 特殊条件的二次函数的表达式 2 　　2. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 图象经过 原点 8 = 4a - 2b， 5 = a - b. ∴ 解得 ∴ y = -x2 - 6x. { { a = -1， b = -6. 针对训练 做一做 已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1. ∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)， 13 = 4a - 2b + 1. 5 = 4a + 2b + 1， a = 2， 解得 b = -2， ∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1. 想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 3 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗? 一般式法求二次函数的表达式 例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 合作探究 1.设：一般式 2.代： 坐标代入 3.解： 方程(组) 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c， 把 (－1，10)，(1，4)，(2，7) 代入 y = ax2 + bx + c 得 a = 2， c = 5. 解得 b = -3， 10 = a - b + c， 7 = 4a + 2b + c. 4 = a + b + c， ∴二次函数图像对称轴为直线 ， 顶点坐标为 . ∴所求二次函数表达式为 4.还原： 写出解析式 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 链接中考 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. A 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 解：设所求二次函数的解析式为 y = at2 + bt + c. 将 (0，0 )，(2，19)，(4，36) 三点代入解析式中，得 注意： 取点取整数点. 故所求二次函数解析式为 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ x2 + 2x - 3 = 0 (x - 1)(x + 3) = 0 x1 = 1， x2 = -3 y = x2 + 2x - 3 y = (x - 1)(x + 3) 因式分解 因式分解 令 y = 0 x y O x1 x2 · · 4 交点法求二次函数的表达式 y = ax2 + bx + c (a≠0) 因式分解 y = a(x - x1)(x - x2) 交点式 图象与 x 轴的两个交点 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 1 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 1 分析：(-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点. 1.设：交点式 设这个抛物线表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 2.代：坐标代入 再把点 (0，-3) 代入上式得 ∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 3.解：方程(组) 解得 a = -1. 4.还原：写出表达式 ∴ 二次函数的表达式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3. 2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， ∴ 图象经过另一点 (3，0). 故可设该二次函数的表达式为 y = a(x − 1)(x − 3). 将点 (0，−3)代入，得 −3 = a(0 − 1)(0 − 3)， 解得 a = −1. ∴ 该二次函数的表达式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3. 练一练 5 知识点5(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(0，1)，C(2，1) 两点纵坐标 相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于 (0，0)，(2，0) 两点的二次函数 y = a(x-0)(x-2)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-0)(x-2)+1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 1.设：解析式 设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1. 2.代：坐标代入 再把点 (1，2) 代入上式得 ∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2， 3.解：方程(组) 解得 a = -1. 4.还原：写出解析式 ∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1， 即 y = -x2 + 3x + 1. 还有其他的方法吗？ 解：如图所示，点A、点C 纵坐标相同， 抛物线的对称轴为 x = = 1. 将 A(0，1)代入解析式中，得 解得 a = -1. 顶点式方法 ∴ 二次函数的解析式是 y = -x2 + 3x + 1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 A B C 设抛物线为 y = a(x - 1)2 + 2 1 = a(0 - 1)2 + 2 则顶点为 B(1，2). 归纳总结 合适的函数解析式 坐标代入 写出解析式 解含参方程组 求二次函数解析式的方法： 思维轴 1 设 2 代 3 解 已知条件 4 还原 ②已知三点坐标 ①已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与 x轴的两个交点 已知条件 选择适当的方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 ④已知抛物线上纵坐标相同的两点 顶点法或交点法平移纵坐标 当堂小结 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 分析：y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 2 1 -1 3 4 5 . 课堂练习 2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . 顶点坐标是（1，6） y = -2(x-1)2+6 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $