2.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 （word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过回顾顶点式及完全平方公式导入，搭建新旧知识支架，引导学生探究一般式转化顶点式的方法，梳理对称轴、顶点坐标的确定思路。 此资料以小组合作探究为特色，通过配方实践培养学生运算能力与推理意识，结合桥梁钢缆等实例渗透模型意识，链接中考题强化应用。助力学生提升数学思维，为教师提供结构化教学资源，高效落实核心素养。

九年级下册教案 2.2 二次函数的图象和性质 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 教学内容 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课时 1 核心素养目标 1.能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式． 2.使学生掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力． 知识目标 1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标； 2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题． 教学重点 掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标 教学难点 掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 师生活动： 引导学生完成上表，对如何求二次函数一般式的顶点坐标、对称轴、最值提出疑问，从而引出本节要研究的课题． 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 通过之前的学习，师提问：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ 填一填 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. 答案：(1) − 6. (2) − 6；36. 合作探究 师生活动： 上节课我们已经学习了y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，能否小组合作研究二次函数y＝2x2－4x＋5的图象和性质？ (1)要求学生独立完成，教师巡视，对于有困难的学生及时指导；　 (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评；　 (3)让学生分组总结配方的方法； (4)让学生思考配方后的函数对称轴和顶点坐标，并且思考它由 y = 2x² 怎样平移得到的 (5)画出函数图象，思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？ 多媒体展示做的正确的学生的成果，然后找学生说明研究的思路． 问题1 怎样将 y=2x²－4x + 5化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 预设： 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 问题2 你能说出 y = 2(x - 1)² + 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3). 问题3 二次函数 y = 2(x - 1)² + 3 可以看作是由 y = 2x² 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的； 平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象？ 解：先利用图形的对称性列表； 然后描点画图，得到图象 如右图. 问题5 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说出其增减性. 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？ 师生活动： 多媒体展示例题. 求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标． 根据上面的分析，要求y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标，首先要利用配方法把y＝2x2－8x＋7转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式． 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 预设： 解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)， 当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 预设： (1) y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4 对称轴：x = 1 顶点坐标：(1，4) (2) y = 2x2 - 12x + 8 = 2(x2 - 6x) + 8= 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8= 2(x - 3)2 - 10 对称轴：x = 3 顶点坐标：(3，-10) 师生活动： 你感觉利用上面的方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法好吗？如果每次都采取“配方”很麻烦，有没有更好的办法呢？下面我们就来一起探究形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标． 学生小组讨论后，代表说明解题思路和方法，师生共同解答． 预设： 归纳总结 归纳总结 知识点二：二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 一般研究哪几种性质？ 结合对称轴和顶点公式进行探究. 预设： 师提问：c 决定什么？ 合作探究 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 答案：＞，＞； ＞，＜； ＞，=. 答案：＜，＜； =，＞； ＞，＜. 师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 归纳总结 二次函数图象与 a、b、c 的关系 链接中考 1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1， 下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 师生活动：小组讨论，每组找出一位同学展示自己所总结的结果．对于有问题的，师生共同分析. 做一做 如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y = x2 + x + 10 表示. (1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少? 师生活动： 师：解决实际应用问题的关键是什么？ 生：解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题． 教师引导学生，本题可以运用不同的方法进行解答． 学生讨论后，得出两种方法：(1)运用配方法转化成顶点式；(2)运用公式法直接写出顶点坐标． 最后教师展示不同的解题方法供学生参考． 3、 当堂练习，巩固所学 1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A. y轴 B. 直线 x= C. 直线 x=2 D. 直线 x= 2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b 同号； （2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等； （3） 4a+b = 0； （4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 设计意图：回顾内容1，通过对这几个函数图象和性质的回顾，为后面学习y＝ax2＋bx＋c的性质作铺垫. 设计意图：通过复习完全平方公式，为后面用配方法推导y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标公式作知识准备． 设计意图：通过问题串的方式，让学生复习顶点式y＝a(x－h)2＋k，增强学生利用顶点式的意识，为下面例题的解决奠定了良好的基础．利用函数图象的直观性说出函数的性质，体现数形结合的思想. 设计意图：通过例1和做一做的两道题目，加深学生将一般式转化为顶点式来解决相关问题的的意识. 设计意图： 从简单的二次函数入手，类比总结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式，体现了从特殊到一般的研究思路，同时为学生提供了另一种解决问题的方法，公式法. 设计意图：通过探究字母 a，b，c 对二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质所起的作用，加深对抛物线的认识. 结合图象的直观性，说出函数的性质体现数形结合的思想. 设计意图：通过中考题的探究加强学生对于图象和系数之间关系的理解. 设计意图：让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识，让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决问题的过程． 设计意图：考查学生用配方法或公式法求顶点坐标及对称轴的掌握情况，通过练习加深对所学知识的理解. 设计意图：考查学生对于图象和系数之间关系的运用. 板书设计 第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标的方法： （1）配方法： 一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a(x－h)2＋k． （2）公式法： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有①图象的对称轴是直线x＝－； ②图象的顶点坐标是（－，）． 课后小结 教学反思 总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度. 学科网（北京）股份有限公司 $