2.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过复习y=ax²的开口方向、顶点等性质，结合平移问题引导学生探究新函数，搭建旧知到新知的学习支架，明确前后知识脉络。 资料以自主学习与合作探究为主，通过画图、归纳a、h、k的作用培养抽象能力和推理意识，典例精析与中考链接提升应用意识，当堂检测分层设计，助力学生巩固知识，发展数学思维与表达能力。

第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象和性质 第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质 学习目标： 1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 自主学习 一、复习回顾 1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况: 2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？ 3. 把 y = 2x2 的图象 向下平移 个单位 → 向左平移3个单位 → 4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？ 合作探究 1、 要点探究 知识点一：二次函数的定义 知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 解：先列表： 再描点、连线. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：________________________________________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 试一试 画出二次函数 的图象，并填空. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：____________________________________________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 归纳总结 典例精析 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． 知识点二：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 画一画，填出下表： y = 2x2怎样移动可以得到 y = 2(x + 3)2 - ？ 例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线y = 2(x + 3)2 - 归纳总结 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 链接中考 1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 归纳总结 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 结论： 二、课堂小结 当堂检测 1.完成下列表格: 2. 已知函数 y＝-(x - 4)2-1. (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 ， 顶点坐标为 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； (3) 怎样移动抛物线 y＝ -x2，就可以得到抛物线 y＝ -(x - 4)2 - 1? 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y2 时， 求 m、n 之间的数量关系． 参考答案 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 解：先列表： 再描点、连线. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：________________________________________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 答案： 向上；直线 x = -3；(−3，−0.5)； 当 x＜-3 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大. 试一试 画出二次函数 的图象，并填空. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：____________________________________________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 答案： 向下；直线 x = -1；(−1，−1)； 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 归纳总结 典例精析 例2 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. (3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， ∴ y1＜y2. 知识点二：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 画一画，填出下表： 例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线y = 2(x + 3)2 - 归纳总结 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 链接中考 1. 答案：A 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) 例4 答案：A 归纳总结 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧； h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性. 当堂检测 1.完成下列表格: 2. 答案： (1) 向下；直线 x＝4；(4，﹣1) (2) ＞4 (3) 解：将抛物线 y ＝ -x2 向右平移 4 个单位， 再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝ -(x - 4)2 - 1. 3. 解：(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4， 解得 a＝1. (2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2. 方法二： ∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1， ∴ 当 y1＝y2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称. ∴ ，化简，得 2m＋n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $