2.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过复习y=ax²的开口方向、顶点坐标等旧知，结合平移问题链（如y=2x²平移得到y=2(x+3)²-0.5），搭建新旧知识支架，引导学生探究新知。 此资料以自主画图、小组合作探究为核心，学生通过列表描点分析图象性质，培养几何直观与空间观念，结合典例精析和中考链接，提升推理意识与应用能力。既帮助学生夯实数形结合思维，也为教师提供清晰教学流程与分层练习，便于高效教学。

九年级下册教案 2.2 二次函数的图象和性质 第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质 教学内容 第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质 课时 1 核心素养目标 1.引导学生运用观察、分析、比较、抽象、类比、概况等方法，探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等； 2．掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移规律； 3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力． 知识目标 1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系； 2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题． 教学重点 掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系. 教学难点 能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况: 2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？ 3. 把 y = 2x2 的图象 向下平移 个单位 → 向左平移3个单位 → 4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？ 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 师生活动：学生自主列表画图，然后小组讨论问题 解：先列表： 再描点、连线. 1.开口方向： ； 2.对称轴： ； 3.顶点坐标是 ； 4.增减性：_______________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 答案： 1. 向上； 2. 直线 x = -3； 3.(−3，−0.5)； 4.当 x＜-3 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大. 试一试 画出二次函数 的图象，并填空. 1.开口方向： ； 2.对称轴： ； 3.顶点坐标是 ； 4.增减性：____________________________________________________________. 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 答案： 1. 向下； 2. 直线 x = -1； 3. (−1，−1)； 4.当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 归纳总结 师生活动：学生举手回答问题，出现错误及时解释指正. 典例精析 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小． 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. (3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， ∴ y1＜y2. 知识点二：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 画一画，填出下表： 师生活动：学生用描点法画出二次函数的图象，然后同组的同学比较所画的图象是否一样，根据自己所画出的函数图象，指出其开口方向、对称轴和顶点坐标，并观察其增减性. y = 2x2怎样移动可以得到 y = 2(x + 3)2 - ？ 师生活动：老师播放PPT， 让学生观察，然后小组谈论， 探讨平移的方法. 例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线y = 2(x + 3)2 - 归纳总结 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 链接中考 1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 答案：A 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类) 师生活动：学生自主探究画图，然后同组的同学比较所画的图象是否一样，然后小组展示结果，老师根据有问题的结果加以解释. 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 答案：A 师生活动：让学生尝试解答，举手回答问题. 师生一起共同归纳，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用： 预设：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧； h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性. 3、 当堂练习，巩固所学 1.完成下列表格: 2. 已知函数 y＝-(x - 4)2-1. (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 ， 顶点坐标为 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； (3) 怎样移动抛物线 y＝ -x2，就可以得到抛物线 y＝ -(x - 4)2 - 1? 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y2 时， 求 m、n 之间的数量关系． 设计意图：以题组的形式进行引入，不仅复习回顾了以前学过的函数的图象和性质，也为学习新知奠定基础. 设计意图：学生自己动手画图象，根据图象更容易找到它们的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，也更容易发现这几个二次函数图象之间的位置关系. 设计意图：培养自主学习习惯，类比y = a(x - h)2+k a＞0性质的方法，添加a＜0的实例，整体加深y = a(x - h)2+k 的性质理解，体会数形结合思想. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点. 设计意图： 经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化. 因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力,有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质，可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后，总结规律，有效地让学生从感性认识上升到了理性认识，并形成自己对本节课重点内容的理解. 设计意图：巩固二次函数平移的方法，加强对其的理解. 设计意图：通过画图初步感受 a，h，k 的正负对图象的影响. 设计意图：巩固学生从二次函数图象中辨别系数的正负的方法. 设计意图：考查学生对二次函数的性质和平移的掌握. 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。 板书设计 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系 3．二次函数y＝a(x－h)2＋k的应 课后小结 教学反思 要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课堂真正成为学生展示自我的舞台．充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学. 学科网（北京）股份有限公司 $