2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，通过门禁平移、羽毛球运动轨迹等生活情境导入，关联平移知识与y=x²性质，搭建新旧知识支架，引导学生自然过渡到新知学习。 此教案突出动手实践与探究，小组合作画图培养几何直观，对比y=2x²与y=2x²±1图象发现平移规律发展推理意识，结合中考题练习强化应用意识，助力学生掌握数形结合，提升教师课堂效率与教学效果。

九年级下册教案 2.2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 教学内容 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 课时 1 核心素养目标 1.使学生能利用描点法正确作出函数y=2x2与y=2x2+1的图象. 2.理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系. 3.让学生经历二次函数y=ax2+c性质探究及性质应用的过程，发展运算能力和数形结合的思想能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律. 4.培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力. 知识目标 1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象； 2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系； 3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题． 教学重点 1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象； 2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系； 教学难点 能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？ 羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画，大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？ 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质 合作探究 画出函数 y = 2x2 的图象. 师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接. 解：列表. 描点，连线. 观察思考 问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？ 二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y 轴就是它的对称轴. 问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0，0). 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？ 当 x = 0 时，ymin= 0. 问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案. 师提问：想一想函数 y = ax 2 的性质是什么？ 要点归纳 练一练 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点. 3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点. 4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 师生活动：学生独立思考并作答. 答案： 1. 向上，y轴，(0,0) 2. 向下，y 轴，(0,0)，高 3. 向上，y轴，(0,0)，低 4. 向下，y轴，(0,0)， 合作探究 问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？ 当 a > 0 时， a 的绝对值越大， 开口越小 问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ 在二次函数 y = ax2 中， a 的绝对值越大， 开口越小. 5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) 答案：(1) ③ ； (2) ① ； (3) ④ ； (4) ②. 知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质 合作探究 师生活动：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象． 1)同桌之间，一个列表，一个描点， 然后用彩笔连线. 2)教师巡视，指导画法. 3)展示好的作品(以做探讨，研究性质之用) . 解：先列表： 再描点，连线. 问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 ； 把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 师生活动：老师播放PPT动图，学生观察图形尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 答案：上；y = 2x2 + 1；下 要点归纳 二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数 y = ax2+c 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时，向上平移 c 个单位长度得到. 当c < 0 时，向下平移 -c 个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 练一练 6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　A　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 合作探究 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如何？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 想一想 根据图象回答下列问题： (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？ 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 答案：(1) 抛物线；(2)向下 ；(3) y 轴 ；(4) (0，1)， (0，−1) ； (5) 高，大， y = 1 ，y = −1 ； (6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，对称轴右侧 y 随 x 增大而减小. 要点归纳 二次函数 y = ax2 + c 的性质 想一想 1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. 2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标. 对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c). 3、 当堂练习，巩固所学 1. 填表： 2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题： (1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2. (2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . (3) 试说出抛物线 y = x2 - 3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________. 4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　) 设计意图：首先用情境和问题作为切入点，引出新知.学生会根据己有的知识储备轻松得出结果，同时为后面知识讲解做铺垫. 设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维. 体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识 的理解，充分调动学生学习的积极性. 设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究 函数性质的经验. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点. 设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数性质的理解. 设计意图：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象 的性质，初步体验二次函数y=ax2的系数a对图象的影响. 设计意图：通过做题巩固y=ax2的图象与系数a之间的关系. 设计意图：引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数之间(a相同)的平移关系，掌握图象的平移规律，培养学生的动态思维. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点，体会图象平移的概念. 设计意图：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间(a相 同)的平移关系，培养学生的动态思维. 设计意图：培养自主学习习惯，在探究中加深 y = ax2 + k 的性质理解，体会数形结合思想. 设计意图：帮助学生总结二次函数与系数之间的关系. 设计意图：考查学生对二次函数的性质的掌握. 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。 板书设计 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 1．二次函数y＝ax2的图象与性质： 2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质： 3．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的应用： 课后小结 教学反思 本节课的设计重视学生数学学习的过程，采取数学归纳的方式，使学生有机会回忆亲身体验，亲历知识的自主建构过程，使学生学会从具体情境中提取概念，并作更深层次的数学概括与抽象，从而学会数学思考方式．注重创设机会，使学生有机会看到数学的全貌，体会数学的全过程．整堂课的设计围绕研究函数的图象及性质展开，以问题：“函数的性质有哪些？”为主线，通过对性质的探讨让学生清楚研究函数的必要性，明确学习目标，又让学生学会如何应用性质解决问题，体会知识的价值，增强求知欲. 学科网（北京）股份有限公司 $