2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦“利用二次函数求一元二次方程的近似根”，通过回顾二次函数图象与x轴交点和方程根的关系导入，搭建旧知到新知的学习支架，为探究近似根方法奠定基础。 该教案以数形结合为核心，引导学生观察图象确定根的范围、列表估算精确值，培养数学眼光和推理意识。如探究x²+2x-10=0的近似根时，先定范围再精确到十分位，还拓展到方程与不等式的关系，提升学生应用意识，为教师提供可操作的探究流程和多样化练习，助力教学高效实施。

九年级下册教案 2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 教学内容 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 课时 1 核心素养目标 1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验. 2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方法的思路，体验数形结合思想. 知识目标 1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根； 2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系． 教学重点 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 教学难点 进一步体会二次函数与一元二次方程的关系. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 师生活动：让学生独立回答. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根 上册我们已经学习了一元二次方程的各种解法，今天我们尝试另外的一种解法——图象法. 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗? 多媒体展示函数y＝x2＋2x－10的图象. 教师引导学生观察并估计二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，确定出二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围. 学生观察后得出： 由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0有_两个_根， 一个根在_－5_和__－4_之间， 另一个根在__2_和_3__(填两个整数）. 议一议：这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家继续讨论. 经过讨论学生发现：既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了. 教师继续提出问题：如何确定它的十分位呢？ 学生再分组讨论，小组代表发言：十分位上的数可以用试一试的方法确定，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根). 教师先肯定这种方法可行，但是计算比较烦琐，同学们可以借助计算器进行计算. 学生合作，完成下表 x … －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 … y … … 教师多媒体展示表格和所作的图象，供学生参考. 师：现在你能确定十分位上的数了吗？ 教师总结：由表格可知，当x取－4.3或－4.4时，对应y的值由负变正，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根.由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以x＝－4.3更接近方程的根. 因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3. 用同样的方法让学生找到2和3之间的近似根为x＝2.3. 教师点评：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位. 师：我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 生：可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. 学生独立完成验证过程. 教师多媒体展示，供学生参考. 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤： ① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象； ② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； ③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计. 近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置. 多媒体展示课本做一做 师：请求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根. 教师提示学生对比方程x2＋2x－10＝3和方程x2＋2x－10＝0的形式的不同之处，思考解决问题的方法. 学生观察后得出：通过转化可以把原方程变形为x2＋2x－13＝0，然后按照上面探究的方法进行求解. 由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间. 一个近似根：－4.7；另一个近似根：2.7 做一做 师：你还能求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗? 教师引导学生对比方程x2＋2x－10＝3和方程x2＋2x－10＝0相应的函数表达式的y的值，讨论y＝3时对应的x值的确定方法. 然后学生分组讨论，小组代表阐述本小组的观点：只需要找到二次函数y＝x2＋2x－10图象和直线y＝3的交点的横坐标即可.学生在课本的图2-18上作出直线y＝3，确定交点. 根据图象得到近似根. y = x2 + 2x - 10 和 直线 y = 3 交点和横坐标 就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 练一练 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1 答案：B 师生活动：学生举手回答问题，对于有问题的加以分析. 知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的解集 合作探究 问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 教师播放PPT，让学生根据图象自主探讨这几个问题. （1）那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； （2）不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； （3）不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. 让学生体会解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方. 预设： （1）x1 = −1，x2 = 3； （2）x < −1 或 x > 3； （3）−1 < x < 3. 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 教师播放PPT，让学生根据图象自主探讨这几个问题. （1）那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根 是______________； （2）不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集 是______________； （3）不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集 是____________. 然后学生分组讨论，小组代表阐述本小组的观点： 找到抛物线与直线y＝2交点的横坐标，并判断抛物线在直线y＝2的上方还是下方. 预设： （1）x1 = −2，x2 = 4； （2）x < −2 或 x > 4； （3）−2 < x < 4. 问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数， 那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ； 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 教师根据题意带领学生一起分析，二次函数值大等于0的解集是 x ≠ 2 的一切实数，则图象与x轴的交点是x = 2，并且只有开口向上的二次函数才符合其函数值大于0. 根据题意让学生画出二次函数的图象，回答相关问题： 预设： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有1个公共点，坐标是(2 ，0)； 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是x1 = x2 = 2. 问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根， 那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点； 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 类比问题2，学生自主探究，然后小组讨论，回答问题，老师针对有问题的答案，播放PPT，根据动图形象解释. 预设：方程没有实数根意味着函数与x轴无交点，则分两种情况： ① 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解. ② 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数. 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0；③ -x2+x+2<0. (2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0；③ x2-4x+4<0. (3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 归纳总结 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 a＞0 （1） （2） （3） （1）y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＜x1 或 x＞x2. （2）y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解. （3）y＞0，所有实数；y＜0，无解. a＜0 （1） （2） （3） （1）y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＜x1或 x＞x2. （2）y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解. （3）y＜0，全体实数；y＞0，无解. 3、 当堂练习，巩固所学 1. 根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 2. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x = -3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 3.已知二次函数 y = x2 - 6x + 8 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 x2 - 6x + 8 = 0 的解是什么？ （2）x 取什么值时，y > 0 ？ （3）x 取什么值时，y < 0 ？ 设计意图：让学生再次感知一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系,为新知识的探究打下了良好的基础. 设计意图：本环节是本节新课的重点内容，一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识，二是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值的探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系. 设计意图：通过探究，既巩固了所学知识，又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c＝k的根就是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理，培养学生观察图象、分析图象的能力. 设计意图：加强学生对二次函数图象判别是方程ax2+bx+c＝0的根的方法 运用. 设计意图： 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx+ c>0或ax2 + bx + c < 0 ，解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方，进一步体会二次函数与方程，不等式之间的联系. 设计意图：通过探究，既巩固了所学知识，又让学生明白了解一元二次不等式ax2+bx+c>k或ax2+bx+c<k的关键在于确定抛物线与直线y＝k(k是实数)交点的横坐标，并判断抛物线在直线y＝k的上方还是下方，培养学生观察图象、分析图象的能力. 设计意图： 通过一元二次不等式的解集翻过来推出二次函数的图象，然后根据图象判断函数与一元二次方程的相关知识，提升学生反推的能力和数形结合的思想. 设计意图：加强学生对二次函数图象求解一元二次不等式的解集的方法 运用. 设计意图：考查学生对根据表格判断方程的解的运用. 设计意图：考查学生根据图象的对称性求解另一个相似根. 设计意图：考查学生利用函数图象求解方程的解和不等式的解集. 板书设计 利用二次函数求方程的近似根 1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根 2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根 3．利用二次函数的图象求一元二次方程不等式的解集 课后小结 教学反思 在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界. 学科网（北京）股份有限公司 $