1.1 第2课时 正弦与余弦（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦锐角三角函数中的正弦与余弦，通过复习正切值计算导入，以“议一议”问题引发思考，衔接上节课正切知识，引导学生探究锐角确定时对边与斜边、邻边与斜边比值的确定性，搭建学习支架。 特色在于类比教学与探究式学习，通过小组合作量证结合，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），联系梯子倾斜程度等实例，发展模型意识与应用意识（数学语言），帮助学生构建知识网络，提升教师教学效率与学生学习兴趣。

九年级下册教案 1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦 教学内容 第2课时 正弦与余弦 课时 1 核心素养目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系. 2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,表示生活中物体的倾斜程度,能够用正弦、余弦进行简单的计算.； 3.　体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 知识目标 1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值； 2.了解计算一个锐角的正切值的方法. 教学重点 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值. 教学难点 了解计算一个锐角的正切值的方法. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 1. 分别求出图中∠A，∠B 的正切值. 议一议 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定. 想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：正弦的定义 任意画 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'，使得∠C ＝∠C' ＝90°，∠A ＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ 量一量，算一算 证一证 师生活动：让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评. 总结： 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. 知识要点 ∠A 的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦（sine）,记作 sinA， 即 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cosA，即 归纳总结 （1）sinA，cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐角； （2）sinA，cosA 中常省去角的符号“∠”. 但∠BAC的正弦和余弦表示为： sin∠BAC，cos∠BAC. ∠1的正弦和余弦表示为： sin∠1，cos∠1； （3）sinA，cosA 没有单位，它表示一个比值； （4）sinA，cosA 是一个完整的符号，不表示“sin”，“cos” 乘以 “A” ； （5）sinA，cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然的关系. 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，sinA= 0.6，求 BC 的长. 师生活动：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 知识点二：互余两角的正、余弦之间的关系及锐角三角函数 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 想一想 在图中，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ sinA 的值越大，梯子越 ； cosA 的值越 ，梯子越陡. 师生活动：小组讨论， 代表发言说出自己的见解，老师点评. 预设：陡；小. 例2 如图，在等腰 △ABC中，AB = AC =5，BC = 6. 求： sinB，cosB，tanB. 提示：过点 A 作 AD⊥BC 于 D . 师生活动：学生自主动手解决，老师进行订正. 知识点三：正弦、余弦和正切的相互转化 做一做 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，AC = 10，AB 等于多少？sinB 呢？ 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 师提问：关于 cosA 和 sinB，你发现了什么？可以验证吗？ 学生自由发言，然后师生共同归纳总结： 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90°， 针对训练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，则 tanB的值为_________. 师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析。 3、 当堂练习，巩固所学 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 已知∠A，∠B 为锐角 (1) 若∠A =∠B，则 sinA sinB； (2) 若 sinA = sinB，则 ∠A ∠B. 3. 如图， ∠C = 90° 且 CD⊥AB. 4. 在上图中，若BD = 6，CD = 12. 则 cosA =______. 5. 如图：P 是边 OA 上一点，且 P 点的坐标为 (3，4)，则 cosα =____，tanα=____. 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB = 10，BC＝6， 求 sinA、cosA、tanA 的值． 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），同时通过议一议的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 设计意图： 1. 在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的. 2.在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多. 设计意图：正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误. 设计意图：通过例题训练学生对于正弦、余弦定义的理解与掌握,既有基本应用，又有反思讨论，螺旋式上升. 设计意图： 进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系. 设计意图：通过题目的训练,使学生对本节课所学知识进行整合,实现规范化的应用,使学生的学习思路清晰有序,培养学生的分析能力. 设计意图：进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备. 设计意图：检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力. 设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握，同时体会在不同的直角三角形中，（如“双垂直模型”），一个锐角的三角函数可以有不同的表示方法，为日后的知识应用打下基础. 板书设计 第2课时 正弦与余弦 1. 在 Rt△ABC 中 课后小结 教学反思 好的方面：由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握正弦和余弦的概念和意义.同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力. 本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程. 不足之处：一方面，学生一下子学习了三种三角函数，容易混淆这些定义，写错对应边的比例关系；另一方面，学生对于三角函数是建立在“直角三角形中“这个前提条件理解不深，在解答过程中容易忽略；再一方面，由于经验的缺乏，对于一般的图形中的三角函数问题，学生对于如何构造直角三角形没有很明确的方向和策略，这是需要后面进一步加强的内容. 学科网（北京）股份有限公司 $