2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球的物理情境导入，引导学生用函数图象和方程求解落地时间，搭建从具体问题到抽象关系的学习支架，梳理函数与方程的内在联系。 特色在于跨学科情境激发兴趣，分组合作探究三个函数实例，从图象交点归纳方程根的情况，培养几何直观与推理意识，中考链接与分层练习强化应用，助力学生发展抽象能力和理性思维，教师可高效落实重难点提升教学效果。

九年级下册教案 2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学内容 第1课时 二次函数与一元二次方程 课时 1 核心素养目标 1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法. 2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征. 3.经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想. 4.培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质. 知识目标 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根； 教学重点 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 教学难点 理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示： h＝－5t2 +v0t + h0，v0为抛出时的速度，h0为抛出时的高度，一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示. 那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流. 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 答案： (1) h = －5t2＋40t； ① 由图象可知 8 秒后小球落地. ②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8 t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示. 与同伴交流并回答问题. （1）二次函数图象 y = x2 + 2x与x轴有几个交点？一元二次方程 x2 + 2x = 0有几个根？ （2） 二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？ （3） 二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？ 师生活动： 教师组织学生观察图象，对学生进行分组：共分六个组，两两合作，共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论，教师巡回指导并参与各小组讨论，最后 找学生代表阐述观点. 第一组： （1）两个交点； 第二组： （1）解：x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ∴ x(x + 2) = 0. ∴ x1 = 0，x2 = -2. 则有两个根 第三组： （2）一个交点； 第四组： （2）解：x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 ∴ x - 1 = 0. ∴ x1 = x2 = 1. 则有两个相同的根. 第五组： （3）没有交点； 第六组： （3）解：∵ Δ = b2 - 4ac= (-2)2 - 4×1×2= - 4＜0 ∴ 原方程无实数根. 则有没有根. 学生总结，教师点评：二次函数与一元二次方程之间的关系： 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 议一议 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系? 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 链接中考 1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为____________. 答案：a≥-1 且 a≠0 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？ 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 3、 当堂练习，巩固所学 1. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = ； 2.一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 . 3. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 4. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 该同学把铅球推出去多远？ 设计意图：本环节以物理问题引入，在建立数学模型解决问题的过程中，让学生体会学科间的联系及数学建模思想，渗透了数学核心素养中的数学建模.（2）中用不同的方法解决问题，让学生体会数形结合的思想，同时感知体会到二次函数和一元二次方程之间的联系. 设计意图：通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根 的求解，让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高发现 问题、解决问题的能力. 设计意图：结论由特殊到一般的过程，体现了数学的理性思维及数学结论的严谨性. 设计意图：本环节的目的就是为了及时对新知进行巩固练习，检测学生对知识理解情况，同时在练习的过程中让学生再次体会二次函数的图象与一元二次方程的根之间的联系及如何运用这些知识解决数学问题. 设计意图： 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进 行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 板书设计 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题 课后小结 教学反思 本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $