3.1 圆（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦圆的概念、基本元素及点与圆的位置关系，以投圈游戏公平性问题导入，通过画图操作和“圆上点到圆心距离特点”等问题串，搭建从生活情境到数学定义的学习支架，衔接圆的旋转与集合定义及相关概念。 特色在于情境化与探究式结合，投圈游戏体现用数学眼光观察现实世界，小组合作画图、动态演示等发展推理意识与几何直观，如等弧概念用动态图展示重合过程。助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学流程与活动设计。

九年级下册教案 3.1 圆 教学内容 3.1 圆 课时 1 核心素养目标 1.通过在生活中抽象圆和用圆的知识解决实际问题的过程,体验数学知识来源于生活及数学学习探究的方法； 2.经历观察、操作、推理等数学活动，发展合情推理及有条理的表达能力； 3.经历形成圆的概念及点与圆的位置关系的过程,养成学生良好的学习习惯和独立思考的精神. 知识目标 1．理解确定圆的条件及圆的表示方法； 2．掌握圆的基本元素的概念； 3．掌握点和圆的三种位置关系． 教学重点 1．理解确定圆的条件及圆的表示方法； 2．掌握圆的基本元素的概念； 教学难点 掌握点和圆的三种位置关系. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平? 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：探究圆的概念 合作探究 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 学生各自画图，展示结果， 说出自己的体会. 圆的定义 知识要点 平面上，一条线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 形成的图形叫做圆．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”. 问题1：(1) 圆上各点到定点(圆心 O )的距离有什么特点？ (2) 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 师生问题： 学生自主探究，然后举手回答问题 预设： 圆上各点到定点(圆心 O )的距离都等于定长(半径 r )； 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上. 问题2：现在你能回答本课最开始的问题了吗？ 为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的 距离都等于半径. 问题3：观察下图，刚才的投圈游戏设计中，已经站了4 人同时游戏，还可以站更多的人吗？站在哪里？ 预设：可以，站在以 O 点为圆心的圆上. 师追问： 在公平游戏的前提下，花瓶不动，平面有多少个点可供站位游戏？ 预设：无数个. 师追问：这些站位点的都满足什么关系？ 预设：到花瓶的距离相等. 师追问：我们曾经学习过点动成线，那么圆作为曲线，是由怎样特性的点形成的呢？ 圆的集合定义 圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 师强调： 确定一个圆的要素 一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小． 知识点二：圆的有关概念 探究一 连接圆上任意两点，尝试画出不同的线段.说说这些线段有什么区别？ 知识要点 弦：连接圆上任意两点的__线段___. 例如：AB、AC. 直径：经过___圆心___的__弦__. 例如：AB. 直径是___最长__的弦. 探究二 用弦将圆分成两部分，请动手画画有几种情况. 弦将圆分成两个__不相等____的圆弧. 直径将圆分成两个__相等__的圆弧. 知识要点 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ， 读作“圆弧 AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧，例 . 劣弧：小于半圆的弧，例 . 合作探究 探究三 已知 r = 5cm，请分别画两个圆，绘制过程中观察两个圆是否能够重合. 总结 等圆：能够完全重合的两个圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 独立思考 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果 弧AB 和 弧CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ 不可能完全重合， 这两条弧弯曲程度不同. “等弧”≠“长度相等的弧” 例2 如图，回答下列问题： (1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧； (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径； (3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析。 知识点三： 点和圆的位置关系 教师播放图片，并就此提出问题点和圆的位置关系有哪几种？ 通过观察，学生举手回答问题： 预设： 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 师生活动： 通过以上的问题，学生自主思考总结，然后小组讨论，代表回答问题. 对于以上知识，师生共同总结： 设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有： 做一做 设 AB = 3 cm，画图说明满足下列要求的图形： (1) 到点 A 和点 B 的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形. (2) 到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，教师结合学生的具体活动，加以指导. 链接中考 1.(青海 )点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm. 预设：6.5 或 2.5 3、 当堂练习，巩固所学 1. 填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 2. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 为半径作⊙A， 则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A . 3. ⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，则点 P 与 ⊙O 的位置关系为 （ ） A. 在⊙O 内 B. 在⊙O 上 C. 在⊙O 外 D. 在⊙O 上或⊙O 外 设计意图：创设现实问题情境，引导学生发现数学问题，不仅能很好地吸引学生注意力，还能让学生切身体会到生活中处处都时数学，感受数学美，了解知识的产生. 设计意图：通过自主动手画图，体会圆的定义. 设计意图：通过上述圆的定义学习回扣了本节课导入的问题. 设计意图：通过上述的情景和一系列的问题串，一步步引导学生思考圆的另一种定义，使学生对于圆的集合定义理解的更加透彻. 设计意图：通过以下三个探究让学生实践中体会圆的相关知识，教学中播放PPT动图，充分利用现代信息技术手段，让抽象的几何概念更加形象直观， 有利于学生对概念的理解。 设计意图：在此处等弧的概念是难点，用动态图向学生展示“互相重合”的含义，让学生从视觉直观上理解等弧的含义，因此教材强调“在同圆或等圆中”，事实上大小不同的圆中不可能出现等弧。 设计意图：学生通过自己观察、思考、比较，经历探索点与圆位置关系的过程.一方面为学生积累数学活动经验，一方面强化数学学习中的分类讨论思想和数形结合思想。让学生学习知识的同时提升学习能力和学科素养。 设计意图：在问题中使学生体验感性知识到理性知识，从具体到抽象的过程，对数学模型进行定性研究。 设计意图：此题为一题多解，培养学生多角度思考的能力。同时也能使不同层次的学生有不同的发展。 设计意图：考察并强化圆的相关知识. 设计意图：考察并强化点与圆的位置关系的运用 设计意图：考察并强化数量关系与位置关系的联系. 板书设计 圆 1．圆的有关概念 2．点和圆的位置关系 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外⇔d＞r； 点P在圆上⇔d＝r； 点P在圆内⇔d＜r. 课后小结 教学反思 本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻，对于圆的概念的形成过程主要通过让学生找出圆的两种不同画法的共同点得到，抓住了本质．通过教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生进一步理解圆的概念．例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课采用了小问题的形式进行，关注数学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $