2.4 第2课时 商品利润最大问题（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数应用中的商品利润最大问题，通过类比几何最值问题导入，复习利润相关等量关系，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理二次函数求最值的知识脉络。 特色在于以服装厂、旅馆等实际案例为载体，引导学生用数学眼光观察利润关系，用数学思维分析数量关系建立函数模型，归纳解题步骤培养模型意识。通过小组合作、中考链接提升学生分析解决问题能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

九年级下册教案 2.4 二次函数的应用 第2课时 商品利润最大问题 教学内容 第2课时 商品利润最大问题 课时 1 核心素养目标 1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题； 2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值； 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想． 知识目标 1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题； 2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值． 教学重点 应用二次函数解决实际问题中的最值问题. 教学难点 应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 师提问：与利润有关的有哪些等量关系？ 预设： 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：利润最大问题 例1 服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 师：根据利润公式，在题目中找到对应的量： 根据解决解题步骤一步步的分析： ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ③ 将二次函数解析式化为顶点式，求最值 本题根据不同的未知数表示，有不同的方法，先让学生自主分析再小组讨论，由代表发言展示自己的结果： 解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元. ∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13. 故厂家批发单价为 12 元时，获利最多，为20000元. 师提问：还有其他的设未知数方法吗？ 预设： 师：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？ 例2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满. 经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加 10 元，那么客房每天出租数会减少 6 间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 最高总收入是多少? 分析： 设每间客房的日租金提高 x 个 10 元. 学生根据表格表示关系，然后列出函数表达式，小组讨论结果，然后展示. 预设： 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数会减少 6x 间. 设客房日租金总收入为 y 元，则 y = (160 + 10x)(120 - 6x)= -60(x - 2)2 + 19440 ∵ x≥0，且120－6x＞0，∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时， y最大=19440. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元) 因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高, 最高收入为 19440 元. 交流归纳：通过以上探究，你认为利用二次函数解决利润问题的一般步骤是什么? 师生共同归纳总结： 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 议一议 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵) 与橙子总产量 y (个) 的二次函数表达式： y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. （1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. （2） 增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？ 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 链接中考 1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售 卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 3、 当堂练习，巩固所学 1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20 ≤x≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 2. 某种商品的成本是 120 元，试销阶段每件商品的售价 x（元）与产品的销售量 y（件）满足当 x=130 时，y=70，当 x=150 时，y=50，且 y 是 x 的一次函数，为了获得最大利润 S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 3. 某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价 x (元）之间满足关系：y = ax2+bx-75. 其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 设计意图：通过类比几何问题求最值的方法得到求利润问题的最大值的关键同样是求函数的最大值，同时复习利润相关的等量关系，为后文做铺垫. 设计意图： 通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型， 并感受数学的应用价值在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关 系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容. 设计意图： 让学生通过列表的方式表示利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型。使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量的取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题。 设计意图： 发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系，并利用二次函数解决实际问题，使学生 感受二次函数与生活的密切联系。 设计意图： 进一步用图像刻画橙子树的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图像 解决问题。但是本题属于离散型，画函数图像时应该用虚线。 设计意图：通过中考题的探究加强学生对于二次函数利润问题的解题方法的运用，同时规范解题步骤 设计意图：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 板书设计 商品利润最大问题 1．利用二次函数求实际问题中的最大利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润 3.利用表格信息求最大利润 课后小结 教学反思 本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力. 学科网（北京）股份有限公司 $