专题2.5 二次函数与一元二次方程 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，通过思维导图构建知识框架，系统梳理抛物线与x轴交点坐标和方程根的对应关系、交点个数与根的情况的联系、方程近似解的求法及与不等式的关系，形成从概念理解到应用的学习支架。 该资料以思维导图助力知识结构化，培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光），典例中数形结合（如构造函数图象判断方程根的情况）发展推理意识（数学思维），分层题型设计兼顾课中教学与课后查漏补缺，提升学生应用意识（数学语言），有效促进知识内化与能力提升。

二次函数与一元二次方程 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二次函数与一元二次方程的关系 考点梳理 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 典例引领 考向01 求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 考向02 求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 考向03 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（    ） A． B． C． D． 考向04 抛物线与x轴的交点问题 【例4】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 考向05 求x轴与抛物线的截线长 【例5】若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 考向06 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例6】著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 对点提升 【对点1】用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． x 0 1 2 y 2 1 1 【对点2】在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5． (1)求此抛物线的解析式； (2)记抛物线与轴交点的横坐标为，求的值． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【对点4】将抛物线向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为______． 【对点5】若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【对点6】如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 考点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 考点梳理 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根．典例引领 考向01 图象法确定一元二次方程的近似根 【例1】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 考点03 二次函数与一元二次不等式的关系 考点梳理 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与一元二次方程 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二次函数与一元二次方程的关系 考点梳理 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 典例引领 考向01 求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 5 0 7 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】先根据表格给出的三组对应值求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：把表格中三组对应值， ， 代入， ，解得， 因此二次函数解析式为 ， 逐一判断选项： A．，∴图象开口向上，A错误； B．对称轴为，不是，B错误； C．开口向上，对称轴为，∴时，随的增大而增大，又，∴当时，随的增大而增大，C正确； D．令，得，因式分解得，解得或，因此图象与轴交点为和，D错误． 考向02 求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入抛物线解析式求出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0， ∴将代入，计算得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 考向03 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】“零和点”在直线上，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解即为不存在“零和点”. 【详解】解：A、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； B、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； C、 对于，令，整理得，，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； D、 对于，令，，两边同乘得，即，方程无实数解，不存在“零和点”，符合题意. 考向04 抛物线与x轴的交点问题 【例4】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置及的符号判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，再根据当时，，判断的符号即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ，故A选项错误； 对称轴为直线， ， ， ，故B选项错误； 图象过点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为， ，故C选项正确； 当时，，即，故D选项错误． 考向05 求x轴与抛物线的截线长 【例5】若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 考向06 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例6】著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（    ） A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根 C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根 【答案】B 【分析】先推导出，再化简方程，得到，在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象，由两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，得到方程有一个正实数根，两个负实数根，即可解答． 【详解】解：当时，原方程不成立， ∴， 将方程的常数项移到等式右边，得 ， 变形整理得， 在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图， ∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点， ∴方程有一个正实数根，两个负实数根． 对点提升 【对点1】用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【对点2】在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5． (1)求此抛物线的解析式； (2)记抛物线与轴交点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)329 【分析】（1）根据题意可得，即可解答； （2）根据题意可得是方程的根，即，令，则，代入可得，整理得：，则，根据完全平方公式变形可得，再求解即可； 【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5， ， 此抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交点的横坐标为， 是方程的根，即， 法一：令，则， 代入可得， 整理得：，则， ， ． （注：其他方法参考此标准给分） 法二：令，则，代入可得， 整理得：，可得：， 两边平方得：，即， 两边平方得：，即， 两边平方得：，即， ． 法三：（换元，硬降一次）令，则， 代入可得， 整理得：， 可得：， ． 法四：（不使用换元法，硬降一次） 由，可得， 则， ， ， ， ． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 【对点4】将抛物线向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为______． 【答案】 2 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令求出抛物线与轴的交点坐标，再计算两个交点之间的距离即可． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，根据平移规律“上加下减”，可得平移后的解析式为， 当抛物线与轴相交时，函数值为，令， 解得，， 因此平移后抛物线与轴的交点为，， ∴两个交点之间的距离为． 【对点5】若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 【对点6】如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识． 根据图象可得：抛物线的开口向上，与轴交于正半轴，即得，进而根据抛物线与轴交于点，点可得到对称轴，即可判断，，，可得结论①②③正确；当时，即，可得结论④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，，故结论③④正确， ∴，即，，故结论②正确， ∴，故结论①正确， 综上，说法正确的个数为． 考点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 考点梳理 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 典例引领 考向01 图象法确定一元二次方程的近似根 【例1】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 对点提升 【对点1】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 考点03 二次函数与一元二次不等式的关系 考点梳理 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $