习题3.3 垂径定理（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦圆的垂径定理及应用，以古代“圆材埋壁”问题导入，衔接圆的基本性质与勾股定理，通过弦长计算、弦心距求解等例题，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，如“圆材埋壁”抽象几何模型培养抽象能力，尺规作图（过点M作弦AB使AM=BM）发展创新意识。采用问题驱动教学，学生可提升推理能力与几何直观，教师能借助规范解答优化教学流程。

九（下）数学教材习题 习题 3.3 北 师 版 1．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长． 知识技能 解：设直径CD的长为2x,则半径OC=x． ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10， ∴AE=BE= AB= ×10=5． 如图，连接OA，则OA=x． 根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，解得x=13． CD=2x=2×13=26（寸）． 知识技能 2．如图，已知⊙O的半径为30 mm，弦AB=36 mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值. 解：如图，作OC⊥AB，则OC平分AB， ∴C是AB的中点．∴AC=18 mm. ∴cos∠OAB= ． ∵CO2=AO2-AC2=576，∴CO=24 mm. ∴点O到AB的距离为24 mm,cos∠OAB= ． 知识技能 3．如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？ 解：AC=BD．理由如下： 如图，过点O作AB的垂线OE，垂足为E， ∴AE=BE，CE=DE． ∴AE-CE=BE-DE．∴AC=BD． 数学理解 4．如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM. 解：如图所示．①作直线OM，以M为圆心，以OM为半径作圆交直线OM于N； ②分别以O、N为圆心，以大于 ON为半径画弧，两弧交于E、F，过E、F作弦AB， 则AB即为所求． 数学理解 $