3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦圆周角与直径关系及圆内接四边形性质，通过复习圆周角定义和定理搭建旧知支架，以问题链引导探究直径对直角、直角对直径的推论及圆内接四边形对角互补，形成递进式学习路径。 其亮点在于以猜想-证明过程培养推理能力，规范几何语句强化数学表达，结合中考真题与分层练习提升应用意识。系统小结归纳推论，助力学生构建知识体系，既提升学生逻辑思维与解题能力，也为教师提供清晰教学框架和丰富教学素材。

第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 九年级下册数学（北师版） 问题 1 什么是圆周角？ 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 复习回顾 问题 2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 即 ∠ABC = ∠AOC. 一半 C A B O C A B O C A B O 直径所对应的圆周角 1 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ 猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC 为直径， ∴ ∴∠BOC＝180°， A B O C 探究新知 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 解：弦 BC 是直径. 连接 OC、OB， 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. ∴ BC 是⊙O 的一条直径. ∴ B、O、C 三点在同一直线上. ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°. ∵圆周角∠A＝90°， A B O C 归纳总结 ∵ BC 为直径， ∴∠BAC = 90°. 几何语句： ∵∠BAC = 90°， ∴ BC 为直径 . 几何语句： 推论 直径所对的圆周角是直角. A B O C A B O C 推论 90° 的圆周角所对的弦是直径. AB 为直径 ∠ADB = 90° 1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. ∠ACD = 25° ∠B = 25° ∠BAD = 90°-∠B = 65° 链接中考 解：∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ADB = 90°. ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°， ∴∠B = 25°. ∴∠BAD = 90°-∠B = 65°. 1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD 是 ⊙O 的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°. 故选 C. C A B O C 练一练 (1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ 2 圆内接四边形及其性质 A B O C D 解：∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°， ∵AC 为直径， ∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°. (2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ A B O C D 解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∵∠1 +∠2 = 360°， 连接 OB，OD， 则 1 2 归纳总结 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. A B O C D A B O C D 归纳总结 A B O C D A B O C D 推论 圆内接四边形的对角互补. 根据以上讨论你能发现什么结论？ 几何语句： ∵四边形 ABCD 为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD = 180° （圆内接四边形的对角互补）. C O D B A ∵∠A＋∠DCB＝180°， E ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？ 想一想 链接中考 2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° C 圆周角定理 推论2 推论3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 当堂小结 基础练习 1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 解：连接 BC. ∵AB 是 ⊙O 直径， ∴∠ACB = 90°. ∴∠B = ∠D = 26°. ∴∠CAB = 90° - 26° = 64°. 课堂练习 3. (肥城)如图，四边形 ABCD 内接⊙O ， ∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( ) A. 4 B. C. D. 2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°， 求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° C B 4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 能力提升 解：△BDE 为等腰直角三角形. 证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC. ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC. ∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE， ∠DBE =∠DBC +∠CBE， ∴ ∠BED =∠DBE. ∴ BD = ED. ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB = 90°. ∴ △BDE 是等腰直角三角形. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $