总复习（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

这是一份北师版初中数学九年级下册期末总复习习题资料，涵盖知识技能、数学理解、问题解决三大模块，包含三角函数计算、二次函数性质、圆的证明与计算等核心知识点，通过基础题、综合题、应用题搭建复习支架。 资料注重核心素养培养，如三角函数值计算发展运算能力，二次函数顶点问题强化模型意识，圆的切线证明提升推理能力，结合流水槽面积等实际情境培养应用意识，能帮助学生巩固基础、提升综合解题能力，为教师提供系统复习资源。 九年级学生面临升学考试，需重点关注知识综合应用与解题技巧，本资料通过分层习题设计，助力学生查漏补缺，适应中考对数学眼光、思维、语言的考查要求。

九（下）数学教材习题 北 师 版 总复习 1．计算： （1）sin60°-cos45°+tan45°； （2）cos260°+sin245°；（3） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式=1. 知识技能 2．（1）已知∠A是锐角，sinA= ，求∠A的其他三角函数值； 解：设锐角A，B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边． ∵sinA= ，∴ ，即c=5a.∴b= ∴cosA= ，tanA= 知识技能 2．（2）已知∠A是锐角，tanA= ，求∠A的其他三角函数值； 解：设锐角A，B是Rt△ABC中的锐角，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边． ∵tanA= ，∴ ，即a= b. ∴c= ∴sinA= ，cosA= 知识技能 3．根据条件求锐角： （1）sinA=0.753，求∠A； （2）cosB=0.0832，求∠B； （3）tanC=45.8．求∠C． 解：（1）∠A≈48.851°． （2）∠B≈85.227°． （3）∠C≈88.749°． 知识技能 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）： （1）∠A=10°，a=8； 解：∵∠A=10°，∴∠B=90°-∠A=80°． ∵sinA= ，∴c= ≈46.07． 由勾股定理可求出b≈45.37． 知识技能 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）： （2）∠B=33°，b=5； 解：∵∠B=33°，∴∠A=90°-∠B=57°． ∵sinB= ，∴c= ≈9.18． 由勾股定理可求出a≈7.70． 知识技能 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）： （3）a=5，c=13； 解：∵a=5，c=13，∴由勾股定理可得b=12． ∵sinA= ，∴∠A≈22.62°． ∴∠B=90°-22.62°=67.38°． 知识技能 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（边长精确到0.01）： （4）c=4 ，b=4 . 解：∵c=4 ，b=4 ，∴由勾股定理可得a=8． ∵sinA= ，∴∠A≈54.74°.∴∠B≈35.26°． 知识技能 5．求下列抛物线的对称轴和顶点坐标： （1）y=-（x-2）2+4；（2）y=-2（x+5）2-3； （3）y=x-2x2； 解：（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4）． （2）对称轴为直线x=-5，顶点坐标为（-5，-3）． （3）y=x-2x2=-2（x- ）2+ ，故对称轴为直线x= ，顶点坐标为（ ， ）． 知识技能 5．求下列抛物线的对称轴和顶点坐标： （4）y=2x（3-x）； （5）y=9-2x-x2． 解：（4）y=2x（3-x）=-2x2+6x=-2（x- ）2+ ，故对称轴为直线x= ，顶点坐标为（ ， ）． （5）y=9-2x-x2=-x2-2x+9=-（x+1）2+10，故对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，10）． 知识技能 6．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （1）y=-（x+2）（x-2）； 解：令y=0，得-（x+2）（x-2）=0，解得x=2或-2，故与x轴的交点坐标为（-2，0），（2，0）．如图. 知识技能 6．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （2）y=9x2-49； 解：令y=0，得9x2-49=0，解得x= ，故与x轴的交点坐标为（- ，0），（ ，0）．如图. 知识技能 6．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （3）y=5+x-4x2； 解：令y=0，得5+x-4x2=0，解得x= 或-1，故与x轴的交点坐标为（ ，0），（-1，0）．如图. 知识技能 6．求下列二次函数的图象与x轴的交点，并画草图验证： （4）y=（x+1）2-9． 解：令y=0，得（x+1）2-9=0，解得x=2 或-4，故与x轴的交点坐标为（2，0），（-4，0）．如图. 知识技能 7．用图象法求下列一元二次方程的近似根： （1）x2-5x+5=0； 解：作出函数y=x2-5x+5的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，观察图象，这两点的横坐标约为1.4和3.6．所以方程x2-5x+5=0的近似根分别为1.4和3.6． 知识技能 7．用图象法求下列一元二次方程的近似根： （2）2x2-4x=5； 解：将2x2-4x=5变形为一般式为2x2-4x-5=0．作出函数y=2x2-4x-5的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，观察图象，这两点的横坐标约为-0.9和2.9．所以方程2x2-4x=5的近似根分别为-0.9和2.9． 知识技能 7．用图象法求下列一元二次方程的近似根： （3）x2-6x=3； 解：将x2-6x=3变形为一般式为x2-6x-3=0．作出函数y=x2-6x-3的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，观察图象，这两点的横坐标约为-0.5和6.5．所以方程x2-6x=3的近似根分别为-0.5和6.5． 知识技能 7．用图象法求下列一元二次方程的近似根： （4）5x2+4x-3=0． 解：作出函数y=5x2+4x-3的图象，如图所示．图象与x轴相交于两点，观察图象，这两点的横坐标约为-1.3和0.5．所以方程5x2+4x-3=0的近似根分别为-1.3和0.5． 知识技能 8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF.OE与OF的大小有什么关系？为什么？ 解：OE=OF．理由：如图，连接OA，OB． ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA． 在△OAE和△OBF中， ∴△OAE≌△OBF（SAS）．∴OE=OF． 知识技能 9．如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD. 与 的大小有什么关系？为什么？ 解： ．理由如下： 如图，连接OA，OB，OC，OD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠AOB=∠COD． ∴ ． 知识技能 10．已知直线l及l外一点A，以A为圆心作圆与直线l相切. 解：如图，⊙A即为所求． 知识技能 11．两个圆的圆心相同，半径分别为1 cm和2 cm，大圆的弦AB与小圆相切，求AB的长度. 解：如图，连接OC，AO. ∵大圆的弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB. ∵OA=2 cm,OC=1 cm, ∴AC= cm. ∴AB=2AC=2 cm. 知识技能 12．⊙O的周长为a cm，面积为a cm2，如果点O到一条直线的距离为π cm，那么这条直线与⊙O有怎样的位置关系？ 解：设⊙O的半径为r cm． ∵⊙O的周长为a cm,∴2πr=a①． ∵面积为a cm2，∴πr2=a②．②÷①得 =1，解得r=2．∵点O到一条直线的距离为π cm＞2 cm, ∴这条直线与⊙O的位置关系是相离． 知识技能 13．如图，⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8，过点P画⊙O的两条切线PA和PB，A，B为切点，求PA的长度和∠P的度数． 解：如图，连接OP，OA． ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，∠OPA=∠OPB．∴∠OAP=90°． ∵OP=8，OA=4，∴OP=2OA．∴∠APO=30°， PA= OA=4 ．∴∠APB=2∠APO=60°． 知识技能 14．已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．求证：AC∥OP． 解：如图，连接AB交OP于F． ∵PA，PB是圆的切线，∴PA=PB． ∵OA=OB，∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°． ∵BC是直径，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB． ∴AC∥OP． 知识技能 15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 上，求∠CFD的度数. 解：如图，连接OC，OD． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD=360°÷5=72°． ∵∠COD=2∠CFD， ∴∠CFD=36°． 知识技能 16．如图，A，B是圆上的任意两点，如何找到关于这两点的对称轴？你有哪些方法？ 解：有以下三种方法： ①连接AB，则AB是圆的一条弦，过圆心作AB的垂线，由垂径定理可知此垂线即为线段AB的垂直平分线；②取弧AB的中点C，过圆心与C的直线即为对称轴；③线段AB的垂直平分线即为对称轴． 数学理解 17．如图，⊙O的直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围. 解：如图，过O作OC⊥AB，当P与C重合时OP最小. ∵OC⊥AB，∴根据垂径定理得AC=BC=4 cm．在Rt△OAC中，AC=4 cm,OA=5 cm,由勾股定理得OC=3 cm．故OP的范围是3 cm≤OP≤5 cm． 数学理解 18．四边形ABCD内接于圆，并有 = 2:3:5:5，求∠B的度数. 解：如图. ∵ ∴∠ABC= 即∠B的度数是120°． 数学理解 19．半径为5的⊙O中，点A与圆心O的距离为2，直线l与点A的距离为3，且直线OA与l垂直，则直线l与⊙O有怎样的位置关系？ 解：如图，当直线OA与l垂直，垂足为E，AE=3，故OE=5，则此时直线l与⊙O相切；当直线OA与l′垂直，垂足为C，则AC=3，故OC=1，则此时直线l与⊙O相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 数学理解 20．如图所示的图案（阴影部分）是这样设计的：在△ABC中，AB=AC=2 cm，∠B=30°，以A为圆心、以AB为半径作 ；以BC为直径作 . 求图案的面积． 解：如图，作AO⊥BC于O点． ∵AB=AC， ∴OB=OC，∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠BAC=120°． 数学理解 在Rt△ABO中，∵∠B=30°， ∴OA= AB=1 cm，OB= OA= cm． ∴阴影部分的面积=S半圆O-（S扇形BAC-S△ABC） = = 数学理解 21．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中 ，…的圆心依次按A，B，C，D循环，当AB=1时，曲线DEFGH的长度是多少？ 数学理解 解：根据题意可得AB=1，BE=2，CF=3，DG=4， ∴曲线DEFGH的长度是 则当AB=1时，曲线DEFGH的长度是5π． 数学理解 22．用一块宽度为5 m的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水槽，其中BC∥AD，AB=DC．要使流水的截面面积最大，弯折的长度（AB的长）应是多少？ 解：设梯形的面积为S m2， 梯形的腰长AB=CD=x m． ∴BC=5-2x. 如图，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴∠AEB=∠DEB=∠DFC=∠AFC=90°． 问题解决 ∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=120°． ∴∠EBC=90°． ∴四边形EBCF是矩形，∠ABE=30°． ∴EF=BC=5-2x，AE=DF=0.5x. ∴AD=5-2x+0.5x+0.5x=5-x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE= x． 问题解决 故当x= 时，S取得最大值，最大为 ． 答：要使流水的截面面积最大，弯折的长度（AB的长）应为 m． 问题解决 23．如图，某跑道的周长为400 m且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道的长应为多少？ 解：设矩形直线跑道长为x m,矩形面积为y m2． 由题意得 ∵ ＜0，∴当x=100时，y最大. 即直线跑道长应为100 m. 问题解决 24．甲船从A处起以15 kn的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20 n mile的B处起以20 kn的速度向西航行．多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？ 解：由题意画示意图如图． 设x h后，两船相距y n mile, 则y2=（15x）2+（20-20x）2 =225x2+400-800x+400x2=（25x-16）2+144. ∴当x= 时，y2有最小值144，则y最小=12. 答： h后，两船的距离最小，最小距离是12 n mile. 问题解决 25．如图，一块矩形绿地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AB边平行的篱笆EF分开，已知AB=x m,篱笆的总长为600 m. （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； 解：由题意可得 A B C D E F 问题解决 25．如图，一块矩形绿地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AB边平行的篱笆EF分开，已知AB=x m,篱笆的总长为600 m. （2）求矩形绿地的最大面积． 解： ∴当x=100时，S取得最大值，此时，S=15000，即矩形绿地的最大面积是15000 m2． A B C D E F 问题解决 26．一身高1.8 m的篮球运动员在距篮板4 m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25 m处出手，按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y=-0.2x2+3.5来描述，那么 （1）球能达到的最大高度是多少？ 解：∵y=-0.2x2+3.5， ∴球能达到的最大高度是3.5m． 问题解决 （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？ 解：当y=3.05时，即3.05=-0.2x2+3.5， 解得x=1.5.∴4-1.5=2.5. 当x=-2.5时， y=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25， ∴2.25-0.25-1.8=0.2（m）. 答：球出手时，运动员跳离地面的高度为0.2 m. 问题解决 27．已知正方形ABCD的边长为a，AC与BD相交于点E，过点E作AB的平行线，分别交AD和BC于点F，G．那么以B为圆心、以 a为半径的圆与直线AC，FG，DC有怎样的位置关系？为什么？ 联系拓广 解：⊙B与直线AC相切，与直线FG相交，与直线CD相离．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=a,AC⊥BD，AE=CE=BE=DE= a,∵EG∥AB，∴EG⊥BC．∴BG= a． ∴⊙B与直线AC相切，与直线FG相交，与直线CD相离． 联系拓广 $