第3章 圆 复习题（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的核心知识，包括圆的性质、与圆有关的位置关系、圆的计算及作图，通过基础辨析、性质应用、实际问题解决等层次构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于分层设计与核心素养培养，如通过作外接圆、内切圆培养几何直观，结合货车噪声污染等实际问题发展应用意识，证明题训练推理能力。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准实施分层教学。

九（下）数学教材习题 北 师 版 第三章 复习题 1．观察下面四个图形，哪个既是轴对称图形又是中心对称图形？ 解：（4）既是轴对称图形又是中心对称图形． 知识技能 2．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA= 20 cm，∠O=120°，求△AOB的面积. 解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC. ∵OA=OB，∴∠A=∠B= （180°-∠AOB）=30°. 在Rt△AOC中，OC= OA=10，AC= OC=10 ， ∴AB=2OC=20 . ∴△AOB的面积= ×20 ×10=100 （cm2）． 知识技能 3．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离a=0.72 m，弧的中点到弧所对弦的距离h=0.25 m.如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到0.001 m） 解：如图，由垂径定理推论可得∠OCA=90°， 设圆的半径为r m,则CO=r-0.25，AC=0.36. ∵AC2+OC2=AO2，即0.362+（r-0.25）2=r2． 解得r=0.3842≈0.384． 答：这个车轮的半径为0.384 m. 知识技能 4．如图，D，E分别是半径OA，OB的中点， ，CD和CE的大小有什么关系？为什么？ 解：CD=CE．理由：如图，连接OC． ∵D、E分别是OA、OB的中点，OA=OB， ∴OD=OE． 又∵ ，∴∠DOC=∠EOC． ∵OC=OC，∴△CDO≌△CEO（SAS）． ∴CD=CE． 知识技能 5．如图，在直径为AB的⊙O中，∠DAB=30°，∠COD=60°，OD∥AC吗？为什么？ 解：OD∥AC．理由如下： ∵在直径为AB的⊙O中，∠DAB=30°， ∴∠DOB=2∠DAB=60°． ∵∠COD=60°，∴∠COB=∠COD+∠DOB=120°． ∴∠CAO=60°．∴∠DOB=∠CAO． ∴OD∥AC． 知识技能 6．如图，请找出4组相等的圆周角. 解：根据圆周角定理可知：∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC， ∠CDB=∠CAB，∠ADB=∠ACB． （答案不唯一） 知识技能 7．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且 ，求 所对的圆周角的度数. 解：连接OB，OD，如图． ∵ ，∴∠AOD=∠BOC． 而AC为直径， ∴B，O，D共线，即BD为直径． ∴ 为半圆，它所对的圆周角的度数为90°． 知识技能 8．如图，⊙O的直径AB=13 cm，C为⊙O上的一点，已知CD⊥AB，垂足为D，并且CD=6 cm，AD<DB，求AD的长. 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°． ∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°． 知识技能 ∴∠A=∠BCD．∴△ACD∽△CBD． ∴ ． ∵BD=AB-AD． ∴CD2=AD（AB-AD）， 即36=AD（13-AD）． 解得AD=4 或9 ． ∵AD＜BD，∴AD=4 cm． 知识技能 9．如图，已知△ABC，求作其外接圆. 解：如图，⊙O即为所求． 知识技能 10．如图，已知△ABC，求作其内切圆. 解：如图，⊙O即为所求． 知识技能 11．如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为8 cm，AB=10 cm，求OA的长. 解：如图，连接OC． ∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB． ∵OA=OB，∴AC=BC=5 cm． 在Rt△AOC中， OA＝ （cm）． 知识技能 12．完成下表： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 4 1 6 120° 2 90° 90° 2 8 4 120° 60° 2 2 1 知识技能 13．如图，已知⊙O的周长等于6π cm，求圆内接正六边形ABCDEF的面积. 解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∴AH= AB． ∵⊙O的周长等于6π cm, ∴⊙O的半径为3 cm． ∵∠AOB= ×360°=60°，OA=OB， 知识技能 ∴△OAB是等边三角形． ∴AB=OA=3 cm．∴AH= cm． ∴OH= cm． ∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6× （cm2）． 知识技能 14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，求∠ADB的度数. 解：如图，连接OB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB= =60°． ∴∠ADB= ∠AOB= ×60°=30°． 知识技能 15．如图，在⊙O中， 与 相等，OD⊥ BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E，且OD= OE，那么△ABC是什么三角形？为什么？ 解：△ABC是等边三角形．理由如下： 如图，连接OC．∵ ，∴AB=BC． ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴CE= AC，CD= BC，∠ODC=∠OEC=90°． 知识技能 ∵在Rt△ODC和Rt△OEC中， ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）． ∴CD=CE． ∴BC=AC． ∴AB=AC=CB． ∴△ABC为等边三角形． 知识技能 16．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作 ， ， ．三段弧所围成的封闭图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为π，那么它的面积是多少？ 知识技能 解：设等边三角形ABC的边长为r, ∴ ，解得r=1，即正三角形的边长为1. ∴这个曲边三角形的面积= 知识技能 17．如图，P是半径为4 cm的圆内一点，OP=2 cm，过点P的弦与圆弧组成弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与其所对的劣弧所组成的弓形面积最小．那么最小的弓形面积是多少？ 解：连接OA，OB． ∵OP⊥AB，且OP=2，OA=4， ∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°． 知识技能 由勾股定理得PA2=OA2-OP2， ∴PA=2 ，AB=2AP=4 ． 设扇形AOB、△OAB的面积分别为S1、S2， 则S1= ， S2= AB•OP= ∴最小弓形面积=S1-S2= cm2． 知识技能 18．已知A为⊙O上的一点，⊙O的半径为1，⊙O所在的平面上另有一点P. （1）如果PA= ，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？ 解：点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外． 数学理解 18．已知A为⊙O上的一点，⊙O的半径为1，⊙O所在的平面上另有一点P. （2）如果PA= ，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？ 解：点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外或点P在⊙O上或点P在⊙O内． 数学理解 19．如图，等边三角形OBC的边长为10，点P沿O→B→C→O的方向运动，⊙P的半径为 ，⊙P运动一圈与△OBC的边相切多少次？每次相切时，点P分别在什么位置？ 解：当点P在OB上且与边OC相切时， 如图，作PH⊥OC于H，则PH= . 数学理解 ∵△OBC为等边三角形， ∴∠O=60°． 在Rt△OPH中，OH= PH= =1，OP=2OH=2， ∴点P在OB上，OP=2时，⊙P与边OC相切． 数学理解 同理可得点P在OB上，BP=2时，⊙P与边BC相切； 点P在BC上，BP=2时，⊙P与边OB相切； 点P在BC上，CP=2时，⊙P与边OC相切； 点P在OC上，CP=2时，⊙P与边BC相切； 点P在OC上，OP=2时，⊙P与边OB相切． 综上所述，⊙P运动一圈与△OBC的边相切6次，每次相切时，点P分别距离△OBC的顶点2个单位． 数学理解 20．如图，直线AB⊥CD，垂足为P，测得∠ACP=45°，AC=6 cm. （1）用尺规在图中作一条劣弧，使得它在A，C两点分别与直线AB和CD相切； 解：分别从过点A，C作PB,PD的垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧． 数学理解 20．如图，直线AB⊥CD，垂足为P，测得∠ACP=45°，AC=6cm. （2）求该圆弧的长． 解：由题意及作图过程可得∠AOC=90°. ∵∠ACP=45°，AC=6 cm,∴OA=6× 数学理解 21．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线AB不垂直时，可作几个圆？ 解：如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆． 数学理解 21．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （2）当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，可作几个圆？ 解：如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆． 数学理解 21．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （3）当直线l是线段AB的垂直平分线时，可作几个圆？ 解：如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 数学理解 22．如图，已知△ABC的内切圆⊙O的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S. 解:如图，设△ABC的内切圆⊙O 与AB，BC，AC的切点分别为 D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF=r. 故S= AB•r+ BC•r+ AC•r= r(AB+BC+AC)= lr. 数学理解 23.你可以用哪些办法来确定一个圆形纸片的半径？ 解：答案不唯一，如图1，根据90°的圆周角所对的弦是直径，作出两条直径，两条直径的交点即为圆心，即可确定半径的长．如图2，根据垂径定理，作弦AB，CD的垂直平分线，其交点即为圆心，即可确定半径的长． 问题解决 24．如图，花园边墙上有一宽为1 m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2 m,现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的面积是多少？（结果精确到0.1 m2） 解：如图，设矩形外接圆的圆心为O，作OE⊥BC，垂足为E，连接AC，BD． 问题解决 ∵AC=2 m,BC=1 m,∠BAD=∠BCD=90°， ∴AB= ∵AC，BD均为⊙O的直径． ∴⊙O的半径R=1 m． ∵BO=CO=BC=1 m, ∴△OBC是等边三角形． ∴∠BOC=60°． 问题解决 在Rt△OEB中，OB=1 m，∠OBE=60°， sin∠OBE＝ ， ∴OE=OB•sin∠OBE= m， 应打掉的墙体面积为 S=S⊙O-S矩形ABCD-S扇形OBC+S△OBC = （m2）． 问题解决 25．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30 cm,贴纸部分的宽BD为20 cm,求贴纸部分的面积（纸扇有两面，结果精确到0.1 cm2）． 解：S= ≈ 837.33（cm2）．837.33×2≈1674.7（cm2）． 答：贴纸部分的面积约为1674.7 cm2． 问题解决 26．铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域．如果运动员最多可投7 m,那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少（结果精确到0.1 m2）． 解：∵该区域是圆心角为40°，半径为7 m的扇形， ∴S扇形= ≈17.1（m2）． 答：至少应是17.1 m2. 问题解决 27．如图，相距40 km的两个城镇A，B之间有一个圆形的湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10 km．现要修建一条连接两城镇的公路．经过论证，认为AA′+ +B′B为最短路线．（其中AA′，BB′都与⊙O相切）．你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1 km） 问题解决 解：如图,连接OA′、OB′，连接AB交⊙O于C，D． ∵AA′，BB′都与⊙O相切， ∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′． ∵点O为AB的中点， ∴OA=OB= AB=20． 而OA′=OB′=10， 问题解决 在Rt△OAA′中，∵sinA= ， ∴∠A=30°．∴∠AOA′=60°， AA′= OA′=10 ． 同理可得∠BOB′=60°, BB′=10 ， ∴∠A′OB′=60°． ∴ ∴这段公路的长度= ≈45.1（km）． 问题解决 28．如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径为20 m,从A到B有一笔直的栅栏，其长为30 m．观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多少名观众在看马戏？ 解：如图，过O作OD⊥AB，D为垂足． ∵AB=30 m.∴AD=BD=15 m． ∴OD= ． D 问题解决 ∵sin∠AOD= =0.75， ∴∠AOD≈48.6°．∴∠AOB≈97°． ∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB= ≈ 140（m2）． ∴140×3=420（人）． 答：大约有420名观众在看马戏． D 问题解决 29．如图，有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同品种的花.请给出你的设计方案． 解：如图，线段OA，OB，OC将⊙O三等分． 问题解决 30．某居民小区要在一块矩形空地（如图）上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形．请给出你的设计方案． 解：如图． 问题解决 31．用60 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？ 解：围成圆形场地的面积最大．理由如下： ∵正三角形的周长为60 m,则边长为20 m, ∴正三角形的面积= （m2）． ∵正方形的周长为60 m,则边长为15 m, ∴正方形的面积=15×15=225（m2）． 联系拓广 ∵正六边形的周长为60 m,则边长AB=60÷6=10（m）．过O作OC⊥AB于C，如图所示． ∵AB=BO=AO=10 m，∴CO=5 m． ∴正六边形面积为= ×10×5 ×6=150 （m2）． ∵2πr=60， ∴圆的面积=πr2= m2． ∴圆的面积最大． 联系拓广 32．如图，已知⊙O的直径AB=d，弦AC=a， ,求A，D两点间的距离. 解：如图，连接AD,BC． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=d,AC=a, ∴BC= ． ∵ ，∴AD=BC= ， 即A，D两点之间的距离是 ． 联系拓广 33．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长． 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠D， ∵∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB． ∴ ，即AB2=AE•AD=2×6=12． ∴AB=2 ． 联系拓广 34．某学校A位于工地O的正西方向，且OA=200 m，一辆货车从O处出发，以5 m/s的速度沿北偏西53°方向行驶．已知货车的噪声污染半径为130 m,那么学校是否在该货车噪声污染范围内？若在，则学校受该货车噪声污染的时间有几秒？（结果精确到1 s） 联系拓广 解：如图，过点A作AB⊥OM于点B． ∵∠MON=53°， ∴∠AOM=90°-53°=37°． 在Rt△ABO中，∵sin∠AOB= ， ∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120（m）． ∵120 m＜130 m. ∴学校A在该货车噪声污染范围内． 以A为圆心，130 m为半径作圆，交OM于点C,D,连接AC,AD.则AC=AD=130 m. 联系拓广 在Rt△ACB中，BC2=AC2-AB2，∴BC=50 m. ∵AC=AD，AB⊥CD，∴BD=BC=50 m. ∴CD=100 m. ∴t= =20（s）. 即学校受噪声污染的时间为20 s. 联系拓广 35．如图，点A表示一个半径为300 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，且∠B=45°，∠C=30°．如果在B，C两村庄之间修一条长500 m的笔直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？ 解：∵∠B=45°， ∴tan45°= =1．∴BH=AH． 联系拓广 ∵∠C=30°，∴tan30°= ． ∴HC= AH．∴BC=BH+HC=AH+ AH． ∵BC=500，∴（ +1）AH=500． ∴AH=250（ -1）m． ∵250（ -1）＜300， ∴该公路会穿过该森林公园． 联系拓广 $