3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦圆的切线判定及三角形内切圆，通过雨伞雨滴、砂轮火花等生活实例导入，衔接直线与圆位置关系旧知，以旋转直线探究距离变化为支架，逐步引出切线判定定理及内切圆概念。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过合作探究培养推理意识，如旋转直线分析d与r关系推导判定定理，典例精析总结“有交点连半径证垂直，无交点作垂直证相等”方法，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学流程与实用例题。

3.6 直线和圆的位置关系 第三章 圆 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 九年级下册数学（北师版） 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 情景导入 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时， （1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？ 圆的切线的判定 1 合作探究 l O A B α d l l 探究新知 l O A B α d l l 直线 l 与 ⊙O 先 ，再 ，最后又 . 合作探究 r ∠α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r. 相切 相交 相切 （2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ O A B α d l O A B α d l l O A B r 图1 图2 图3 r r 当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切. 合作探究 知识要点 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径， BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. O C B D A 例1 判断： (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) × × × 典例精析 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件： (1) 直线经过半径的外端； (2) 直线与这半径垂直. 总结 缺一不可 方法总结 做一做 已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线. O A l 总结 证明切线的方法 ： (1) 定义法(交点个数)； (2) 数量关系法(证明 d = r)； (3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 方法总结 例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. 典例精析 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 方法总结 常见证切线作辅助线的方法： 思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. E 合作探究 2 三角形的内切圆及内心 探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？ 最大化利用 里圆面积最大 里圆与三边相切 如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I. 与三角形三边都相切 三个内角的平分线的交点 圆心到三边距离都相等 M N I 动手操作 例4 已知：△ABC. 求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切. 作法： 1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I . 2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 与三角形三边都相切 M N I D 这样的圆可以作出几个? 为什么? ∵直线 BM 和 CN 只有一个交点 I，并且点 I 到△ABC 三边的距离相等. ∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个. 知识要点 M N I D 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 知识要点 例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°， 求 ∠BOC 的度数. A B C O 解：∵∠A = 70° ∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110° ∵⊙O 是 △ABC 的内切圆 ∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线 即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB 典例精析 ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB) =180°- ×110° = 125°. A B C O 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d = r，则相切 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 三角形内切圆 有关概念 内心概念及性质 当堂小结 （ √ ） 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线 是圆的切线. (5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. (7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （×） （×） （√ ） （√ ） （ √ ） （ √ ） 课堂练习 2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70° 解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°. ∵D、E、F 为⊙O 的切点， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°. ∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA －∠OFA ＝110°. ∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°. B 3.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 连接 OD OD∥AC ∠ODF = ∠AED = 90° AD 平分∠CAB ∠ODA =∠OAD = ∠DAC 链接中考 证明：连接 OD. ∵AD 平分∠CAB，OA = OD， ∴∠ODA =∠OAD =∠DAC. ∴ OD∥AC. 又∵ DE⊥AC ， ∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $