3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“圆周角和圆心角的关系”，涵盖圆周角定义、定理及推论。通过射门游戏情景导入，结合复习圆心角知识，搭建从圆心角到圆周角的学习支架，引导学生逐步理解两者关系。 其亮点在于以现实情景（射门张角）培养数学眼光，通过合作探究证明圆心与圆周角三种位置关系发展数学思维，小结类比圆心角与圆周角强化数学语言表达。实例丰富如练一练、典例精析，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

3.4 圆周角和圆心角的关系 第三章 圆 第1课时 圆周角和圆心角的关系 九年级下册数学（北师版） 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC. A 复习回顾 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（ ∠ABC ）有关. 问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交. A B D E C O 情景导入 圆周角的定义 1 （两个条件必须同时具备，缺一不可） 总结 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 例如：∠ACB. A B O C 探究新知 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 √ √ √ 做一做 2 圆周角定理及其推论 当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？ A B D E C O 如图，∠AOB = 80°. （1）请你画出几个 所 对的圆周角，这几个圆周角有 什么关系？与同伴进行交流. 提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？ 做一做 A B O C A B O C A B O C A B O 圆心 O 在∠C 的内部 圆心 O 在∠C 的一边上 圆心 O 在∠C 的外部 (2) 这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? 猜想： ∠ACB＝ ∠AOB＝40° 改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？ 议一议 C A B O C A B O C A B O 圆心 O 在∠C 的内部 圆心 O 在∠C 的一边上 圆心 O 在∠C 的外部 ∠ACB＝ ∠AOB 证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图. 情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形) 已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角. 求证： C A B O ∴ ∠AOB = 2∠C， ∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C. ∵ ∠AOB 是△AOC 的外角， ∴ ∠AOB = ∠A +∠C. C A B O C A B O 圆心 O 在∠C 的内部 圆心 O 在∠C 的外部 试一试：你能完成另两种情况的证明吗？ 合作探究 已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角. 求证： 情况二：圆心 O 在∠C 的内部 提示：能否转化为前一种已证明的情况? D 过点 C 作直径 CD. 由已证可得： C A B O 情况三：圆心 O 在∠C 的外部 提示：能否也转化为第一种已证明的情况? D 过点 C 作直径 CD. 由已证可得: 已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角. 求证： C A B O 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 归纳总结 C A B O C A B O C A B O ∠ACB＝ ∠AOB 在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ ● O 所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC . 根据圆周角定理， 想一想 归纳总结 ● O 推论： 同弧所对的圆周角相等. 1. 如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°. (1) ∠BOC = °，理由 是 ; (2) ∠BDC= °，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 练一练 例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径， ∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数. B C O . 70° A ∴∠ACB = ∠AOB = 25°. 同理∠BAC = ∠BOC = 35°. 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为 ， 典例精析 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角. 当堂小结 1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 课堂练习 2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则 ∠AOB = ． B A C O 166° 3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = . D A O C B 50° 4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 . C A B O 解：连接 OA、OB. ∵∠C = 30° ， ∴∠AOB = 60° 又∵OA = OB ， ∴△AOB 是等边三角形. ∴OA = OB = AB = 2，即半径为 2. 2 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $