2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球的实际情境导入，引导学生从高度与时间的函数关系中抽象出数学问题，结合图象观察与方程求解，搭建从现实问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以具体函数实例为载体，通过表格归纳交点、根与判别式的关系，培养学生的抽象能力和推理意识。课堂练习结合中考真题与铅球运动等实际问题，提升模型意识与应用意识，助力学生理解知识本质，也为教师提供结构化的教学资源。

2.5 二次函数与一元二次方程 第二章 二次函数 第1课时 二次函数与一元二次方程 九年级下册数学（北师版） 竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示： 一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示. h＝－5t2 +v0t + h0 抛出时的高度 抛出时的速度 情景导入 那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？ h=－5t2＋40t (2)小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流. ① 由图象可知 8 秒后小球落地. ②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8 t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间. 二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示. 与同伴交流并回答问题. (1) (2) (3) 1 二次函数与一元二次方程的关系 探究新知 二次函数 y = x2 + 2x 的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程 x2 + 2x = 0 有几个根？ 两个根 解：x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ∴ x(x + 2) = 0. ∴ x1 = 0，x2 = -2. 二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？ 两个相同的根 解：x2 - 2x + 1 = 0 (x - 1)2 = 0 ∴ x - 1 = 0. ∴ x1 = x2 = 1. 二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？ 没有根 解：∵ Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×2 = - 4＜0 ∴ 原方程无实数根. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系? 议一议 链接中考 1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点，则 b2 - 4ac≥0. 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？ 想一想 h=－5t2＋40t 解：令 h = 60， -5t2 + 40t = 60 t2 - 8t + 12 = 0 (t - 2)(t - 6) = 0 t1 = 2，t2 = 6 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）； 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 归纳总结 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 当堂小结 1. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = ； -1 y O x 1 3 2. 一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 课堂练习 3. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 综上所述，k的取值范围是k≤4. ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点， 当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数． ∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3； 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数． 4. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 该同学把铅球推出去多远？ 解：(1) 设二次函数的解析式为 y = a(x - 4)2 + 3， 解得 把 (0，0.6) 代入得 0.6 = a(0 - 4)2 + 3， (2) 当 y = 0 时， 解得 （舍） 答：该男同学把铅球推出去 (4 + 2 )m 远． 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $