3.1 圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“圆”的核心知识，涵盖圆的定义（旋转与集合定义）、相关概念（弦、直径、弧等）及点与圆的位置关系。以投圈游戏公平性问题导入，通过画圆过程探究、问题链（如“圆上点到圆心距离特点”）搭建学习支架，衔接概念形成与应用。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过“问题-探究-总结”链条发展数学思维，典例精析（矩形四点共圆证明）与中考链接强化数学语言表达。系统小结助学生构建知识体系，教师可借分层练习提升教学实效，促进学生理解概念本质与应用能力。

3.1 圆 第三章 圆 九年级下册数学（北师版） 如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平? 情景导入 · r O A 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 1 探究圆的概念 合作探究 探究新知 圆的定义 平面上，一条线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 形成的图形叫做圆． 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”. 知识回顾 O r A · 圆心 半径 问题1：(1) 圆上各点到定点(圆心 O )的距离有什么特点？(2) 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ O r A · 圆上各点到定点(圆心 O )的距离都等于定长(半径 r )； O r A · 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上. 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的 距离都等于半径. 问题2：现在你能回答本课最开始的问题了吗？ 问题3：观察下图，刚才的投圈游戏设计中，已经站了4 人同时游戏，还可以站更多的人吗？站在哪里？ 可以，站在以 O 点为圆心的圆上. 追问1 在公平游戏的前提下，花瓶不动，平面有多少个点可供站位游戏？ O 无数个. 追问2 这些站位点的都满足什么关系？ 到花瓶的距离相等. 11111 圆的集合定义 圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合． 追问3 我们曾经学习过点动成线，那么圆作为曲线，是由怎样特性的点形成的呢？ O 一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小． 确定一个圆的要素 典例精析 例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：A、B、C、D 四个点在以 O 为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = OC，OB = OD. 又∵ AC = BD， ∴ OA = OB = OC = OD. ∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上. 圆的有关概念 2 探究一 连接圆上任意两点，尝试画出不同的线段.说说这些线段有什么区别？ 部分过圆心... 有最长的线段... 总结 · C O A B 弦：连接圆上任意两点的______. 例如：AB、AC. 直径：经过_______的______. 例如：AB. 直径是_____的弦. 线段 圆心 弦 最长 半径是否是弦？ 知识要点 探究二 用弦将圆分成两部分，请动手画画有几种情况. A B B A 弦将圆分成两个______的圆弧. 直径将圆分成两个____的圆弧. 相等 不相等 合作探究 总结 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. · C O A B 知识要点 总结 优弧：大于半圆的弧，例 . 劣弧：小于半圆的弧，例 . · C O A B 探究三 已知 r = 5cm，请分别画两个圆，绘制过程中观察两个圆是否能够重合. 重合 总结 等圆：能够完全重合的两个圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 合作探究 不可能完全重合， 这两条弧弯曲程度不同. “等弧”≠“长度相等的弧” 如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ D C A B 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 独立思考 例2 如图，回答下列问题： (1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧； (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径； 弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 是直径. (3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. A B C E F D O 劣弧： 优弧： 答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 . 典例精析 3 点和圆的位置关系 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上， 点在圆外. 问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 总结 点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O 上 点 P 在⊙O 外 d＜r d = r d＞r 设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有： 符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”的左右两端可以互相推出. 数形结合： 位置关系 数量关系 知识要点 设 AB = 3 cm，画图说明满足下列要求的图形： (1) 到点 A 和点 B 的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形. (2) 到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形. 做一做 P Q P Q 1.(青海 )点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm. ① 点在圆内 ② 点在圆外 6.5 或 2.5 链接中考 圆 定义 旋转定义 要画一个确定的圆，关键是 确定圆心和半径 集合定义 同圆半径相等 有关 概念 弦（直径） 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 同心圆 等圆 同圆 等弧 能够互相重合的两段弧 当堂小结 点与圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 位置关系数量化 1. 填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，劣弧 有 条． 直径 半径 一 二 四 四 A B C D O F E 课堂练习 2. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A . 上 外 上 3. ⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，则点 P 与 ⊙O 的位置关系为 （ ） A. 在⊙O 内 B. 在⊙O 上 C. 在⊙O 外 D. 在⊙O 上或⊙O 外 B 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $