2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，通过门禁平移、羽毛球轨迹等生活情境导入，联系平移要点和y=x²性质，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究平移与二次函数的结合。 其亮点是以合作探究为主线，通过列表描点画图象、对比a值与开口大小、总结平移规律，培养数学眼光（从情境抽象数学对象）、数学思维（推理性质）和数学语言（符号表达）。如用“上加下减”口诀简化平移规律，帮助学生直观理解性质，也为教师提供结构化教学流程，提升教学效率。

2.2 二次函数的图象与性质 第二章 二次函数 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的 图象与性质 九年级下册数学（北师版） 门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？ 羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？ 如果二次函数 y = ax2 的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！ 情景导入 画出函数 y = 2x2 的图象. 列表. x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ··· y ··· ··· 4.5 2 0.5 0 4.5 2 0.5 二次函数 y = ax2 的图象与性质 1 合作探究 探究新知 描点，连线. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？ 二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y 轴就是它的对称轴. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观察思考 问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0，0). 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？ 最小值是什么？ 当 x = 0 时，ymin= 0. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 当 x = 0 时，y最小值=0 当 x = 0 时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 要点归纳 y O x y O x 顶点坐标是原点（0，0） 3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点. 2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点. 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 向上 向下 y轴 y 轴 (0,0) (0,0) 4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 练一练 当 a > 0 时，a 的绝对值越大，开口越小. 问题 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？ x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 合作探究 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a的绝对值越大，开口越小. 问题 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？ 在二次函数 y = ax2 中，a 的绝对值越大，开口越小. 5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) （1）y = 3x2 的图象是_______； （2）y = x2 的图象是_______； （3）y = -x2 的图象是_______； （4）y = x2 的图象是_______． ③ ① ④ ② o 练一练 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象． 解：先列表： x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y = 2x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 再描点，连线. 二次函数 y = ax2+c 的图象与性质 2 合作探究 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2-1与抛物线 y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2-1. 下 y = 2x2 + 1 上 二次函数 y = ax2+c 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移 c 个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移 -c 个单位长度得到. 二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 要点归纳 6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 A 练一练 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2x2 y =2x2＋1 y = 2x2－1 二次函数 开口方向 顶点 坐标 对称 轴 向上 向上 (0，1) (0，-1) y 轴 y 轴 向上 (0,0) y 轴 合作探究 问题 抛物线 y = 2x2+1, y = 2x2-1 的增减性又如何？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 根据图象回答下列问题： (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，1)， (0，−1) 想一想 1 O -1 1 x y -1 -2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 1 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 1 O -1 1 x y -1 -2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？ 二次函数 y = ax2 + c 的性质 y = ax2+c a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = 0 直线 x = 0 (0,c) 当 x = 0 时，y最小值 = c 当 x = 0 时，y最大值 = c 当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0时，y随 x 的增大而增大. (0,c) 要点归纳 想一想 1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？ 2. 抛物线 y = ax2 + c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标. 对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c). 例1 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 C 分析： y = −x2 + 1 y = x2 − 1 开口方向： 顶点： 对称轴： 增减性： 向下 向上 (0，1) (0，−1) y 轴 y 轴 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. c 决定顶点位置； 3.对称轴是 y 轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： c 正向上； c 负向下. 当堂小结 1. 填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 (0，0) (0，1) (0，-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 课堂练习 2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题： (1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2. (2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . (3) 试说出抛物线 y = x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移 1 个单位. ＞0 = 0 1 (0，1) (-1，0)，(1，0) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3). 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________. y1＞y2 4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $