1.1 第1课时 正切与坡度（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“正切与坡度”，核心内容包括正切的定义、正切值与倾斜程度的关系及坡度概念。课堂从“山的陡度”情境导入，通过梯子实例，从倾斜角、铅直高度与水平宽度的比逐步抽象出正切定义，搭建从生活现象到数学概念的学习支架。 其亮点是以梯子、自动扶梯、山坡等生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过相似三角形推理正切值与边长无关发展数学思维，用符号“tanA”及公式精准表达坡度体现数学语言。典例与分层练习结合，助力学生理解应用，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

1.1 锐角的三角函数 第1课时 正切与坡度 九年级下册数学（北师版） 第一章 直角三角形的边角关系 智者乐水，仁者乐山 情景导入 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 倾斜程度大 梯子是我们日常生活中常见的物体. 探究新知 正切的定义 1 铅直高度 水平宽度 A C B 从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度. 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角. A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 A B （C） 问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3 m 6m D E F C 2 m B 4 m A 问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1.3 m 1.5 m 3.5 m 4 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结：铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？ A C1 C2 想一想 两个直角三角形相似 (2) 和 有什么关系？ (3) 如果改变 B2 在梯子上的位置. (如 B3C3 )呢？ A B1 C2 C1 B2 C3 B3 相等 相似三角形的对应边成比例 (1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？ 在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？ 议一议 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作 tanA，即 . A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA = 结论：tanA 的值越大， 梯子越陡. ∠A的对边 ∠A的邻边 归纳总结 ① tanA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）. ② tanA 是一个完整的符号，表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号（注意 tanA 不表示 tan 乘以A ）. ③ tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比. ④ tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. ⑤ 角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等. 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解:甲梯中， β 5 m ┌ 乙 13 m 乙梯中， ∵ tanα ＞ tanβ，∴甲梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. α 4 m 甲 8 m 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A=_____，tan B =_____． 练一练 2.下图中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D . 指出∠A 和 ∠B 的正切. (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC A B C D 互余两锐角的正切值互为倒数. 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度、坡角 2 坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是： 100 m 60 m ┌ α 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米. B ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6 (米)． 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， 方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． 4. 如图，某人从山脚下的点 A 走了 200 m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55 m，求山坡的坡度(结果精确到 0.001 m). A B C ┌ 解： 针对训练 正切 定义 坡度 ∠A 越大，tanA 越大, 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 铅直高度 水平宽度 当堂小结 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 课堂练习 B C A (1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tanA = ( ). (2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°,BC = 5, AB = 13，tanA= ( ),tanB = ( ). (3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA = ， AC = ( ). 2. 完成下列填空： 3. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10 ，求tanB. 提示：构造直角三角形. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD =12. ∴ 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $