15.1.2 分式的基本性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 15.1.2 分式的基本性质 第15章 分式 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 15.1.2 分式的基本性质 练习题 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列各式中，运用分式基本性质变形正确的是（） A. $$\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}$$ B. $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$（$$c eq0$$） C. $$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$$ D. $$\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}$$ 1. 若分式$$\frac{x}{x+2}$$的分子分母同乘$$x-1$$（$$x eq1$$），则变形后的分式是（） A. $$\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$ B. $$\frac{x(x-1)}{x+2}$$ C. $$\frac{x}{(x+2)(x-1)}$$ D. $$\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}$$ 1. 下列分式与$$\frac{-a}{b}$$相等的是（） A. $$\frac{a}{b}$$ B. $$\frac{a}{-b}$$ C. $$\frac{-a}{-b}$$ D. $$\frac{--a}{b}$$ 1. 将分式$$\frac{2x}{4x^2}$$化为最简分式的结果是（） A. $$\frac{1}{2x}$$ B. $$\frac{x}{2x^2}$$ C. $$\frac{2}{4x}$$ D. $$\frac{1}{2}$$ 1. 下列分式中，最简分式是（） A. $$\frac{x^2-1}{x+1}$$ B. $$\frac{x+1}{x^2+1}$$ C. $$\frac{2x}{4x^2}$$ D. $$\frac{x-2}{2x-4}$$ 1. 若$$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$$，则下列式子正确的是（） A. $$\frac{x+2}{y+3}=\frac{2}{3}$$ B. $$\frac{x}{y+3}=\frac{2}{6}$$ C. $$\frac{x+2}{y}=\frac{4}{3}$$ D. $$\frac{3x}{2y}=1$$ 二、填空题（每题3分，共18分） 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个______（不为0）的整式，分式的值不变。 2. 填空：$$\frac{3x}{x+y}=\frac{(\quad)}{(x+y)(x-y)}$$（$$x eq y$$），括号内应填______。 3. 将分式$$\frac{-x+y}{-x-y}$$分子分母同乘-1，结果为______。 4. 最简分式是指分子与分母没有______的分式。 5. 填空：$$\frac{6ab^2}{8a^2b}=\frac{(\quad)}{4a}$$，括号内应填______。 6. 若$$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$$，则$$\frac{2a}{2b}$$的值为______。 三、判断题（每题2分，共10分） 1. $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$（） 2. 分式$$\frac{x^2}{x}$$化简后为$$x$$，所以$$\frac{x^2}{x}$$与$$x$$是同一个分式（） 3. 将分式$$\frac{1}{x-1}$$的分子分母同乘$$x+1$$，得$$\frac{x+1}{x^2-1}$$（） 4. 分式$$\frac{2x+4}{x+2}$$是最简分式（） 5. $$\frac{-a-b}{a+b}=-1$$（$$a eq -b$$）（） 四、解答题（共54分） 1. （8分）利用分式的基本性质，将下列分式化为最简分式： （1）$$\frac{12xy}{18x^2y}$$ （2）$$\frac{x^2-4}{x+2}$$ 1. （8分）根据分式的基本性质填空： （1）$$\frac{2}{x}=\frac{(\quad)}{x^2}$$ （2）$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{(\quad)}{(a+b)^2}$$（$$a eq -b$$） 1. （8分）判断下列分式变形是否正确，若不正确，请说明理由并改正： （1）$$\frac{x}{x-1}=\frac{x^2}{x(x-1)}$$ （2）$$\frac{2}{3x}=\frac{2x}{3x^2}$$ 1. （10分）已知$$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$$，求下列分式的值： （1）$$\frac{3a}{3b}$$ （2）$$\frac{a+2b}{b}$$ 1. （10分）化简下列分式，并说明每一步变形的依据（分式基本性质）： （1）$$\frac{-6x^2y}{9xy^2}$$ （2）$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$$ 1. （10分）若分式$$\frac{x^2-1}{x+1}$$与分式$$x-1$$的值相等，求$$x$$的取值范围，并说明理由。 参考答案 一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. D 二、填空题 1. 不等于0 2. $$3x(x-y)$$ 3. $$\frac{x-y}{x+y}$$ 4. 公因式 5. $$3b$$ 6. $$\frac{3}{4}$$ 三、判断题 1. ×（需注明$$c eq0$$） 2. ×（定义域不同，不是同一个分式） 3. √ 4. ×（可化简为2，不是最简分式） 5. √ 四、解答题 1. （1）$$\frac{12xy}{18x^2y}=\frac{12xy\div6xy}{18x^2y\div6xy}=\frac{2}{3x}$$；（2）$$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$$（$$x eq -2$$） 2. （1）$$2x$$；（2）$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ 3. （1）不正确，理由：当$$x=0$$时，分子分母同乘$$x$$（不为0的整式）不成立；改正：当$$x eq0$$时，$$\frac{x}{x-1}=\frac{x^2}{x(x-1)}$$；（2）正确，分子分母同乘$$x$$（$$x eq0$$），符合分式基本性质。 4. （1）$$\frac{3a}{3b}=\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$$；（2）$$\frac{a+2b}{b}=\frac{a}{b}+2=\frac{2}{5}+2=\frac{12}{5}$$ 5. （1）$$\frac{-6x^2y}{9xy^2}=\frac{-6x^2y\div3xy}{9xy^2\div3xy}=-\frac{2x}{3y}$$，依据：分式基本性质，分子分母同除以$$3xy$$（$$x eq0,y eq0$$）；（2）$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x-3}{x+3}$$（$$x eq3且x eq-3$$），依据：分式基本性质，分子分母同除以$$x-3$$（$$x eq3$$）。 6. $$x eq -1$$；理由：$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$$，根据分式基本性质，分子分母同除以$$x+1$$，需满足$$x+1 eq0$$，即$$x eq -1$$，故$$x$$的取值范围是$$x eq -1$$。 2026年4月7日星期二9时9分41秒 2026年4月7日星期二9时9分43秒 思考：下列两式成立吗？为什么？ 成立，因为分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的数，分数的值不变． 分式的基本性质 1 你认为分式“ ”与分数“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 ) 想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 思考： 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 上述性质可以用等式表示为： 其中 A，B，C 是整式. 知识要点 例1 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 想一想：(1) 中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0? 典例精析 解： 例2　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. (1) ； (2) . 典例精析 想一想：联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分吗？ （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式. 分式的约分 2 例3 约分： （1） ； （2） . 分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 解：（1） （2） 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分. 典例精析 例3 约分： (1) ； 分析：约分要先找出分子和分母的公因式. 找公因式方法： (1) 取系数的最大公约数作为系数； (2) 取分子、分母相同因式的最低次幂作为因式. ( 公因式是 4xy3 ) 解：(1) 典例精析 (2) . 分析：约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. (2) . 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. 注意 最简分式 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 知识要点 约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 归纳总结 找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母. 分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）. 分式的通分 2 试一试 找出下面各组分式的最简公分母： 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 不同的因式 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂. 例5 通分： (2) 解：(1) 与 最简公分母为 a2b2，所以 (2) 与 最简公分母为 x2－y2，所以 (3) . (3) 因为 x2－y2＝ ， x²＋xy＝ ， 所以 与 的最简公分母为 ， 因此， ， . (x－y)(x＋y) x(x＋y) x(x－y)(x＋y) 想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数或分式的基本性质 返回 C 中考考法 19 返回 C 中考考法 20 返回 C 中考考法 21 4x2(m－n) 中考考法 22 【点方法】找最简公分母的方法： (1)找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数． (2)找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取． (3)找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值． 返回 中考考法 23 返回 中考考法 24 6．已知x>3，代数式：A＝2x2－8，B＝3x2－6x，C＝x3－4x2＋4x． (1)因式分解B； 【解】B＝3x2－6x＝3x(x－2)． 中考考法 25 (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 中考考法 26 返回 中考考法 27 中考考法 28 返回 中考考法 29 返回 D 中考考法 30 返回 B 中考考法 31 返回 D 中考考法 32 分式的 基本性质 内容 作用 分式进行约分 和通分的依据 注意 (1) 分子分母同时进行 (2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减 (3) 分子分母只能同乘或同除同一个非零的数或式 进行分式运算的基础 1．若＝A(m≠n)，则A可以是(　　) A． B． C． D． 2．下列各式中，错误的是(　　) A．＝－ B．＝ C．＝－ D．＝－ 3．[上海嘉定区月考]下列分式，，，中，最简分式有(　　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 4．分式，，的最简公分母是________________． 5．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1)＝________；(2)＝________． 【解】选择A，B，则所得分式为＝＝或＝＝； 选择A，C，则所得分式为＝＝或＝＝； 选择B，C，则所得分式为＝＝或＝＝.(任选一个即可) 7．通分： (1)，，； 【解】，，. 【解】，，. (2)，，． 8．在，，通分的过程中，不正确的是(　　) A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2 B．＝ C．＝ D．＝ 9．若把分式的x，y同时扩大到原来的5倍，则分式的值也扩大到原来的5倍，则“□”可以是(　　) A．5 B．y C．3xy D．3y2 10．若abk≠0，且a，b，k满足方程组 则的值为(　　) A． B． C． D．1 $