精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三第一次模拟考试数学试题

哈三中2026年高三学年第一次模拟考试 数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，解得，所以 又，所以 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：B. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解. 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到， 又关于中心对称， 关于中心对称，， 将式子中的用代替，得到， 是定义在上的偶函数，， ，将此式子中的用代替，得到， 则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，， 是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 7. 某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积求出，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，坐标原点为 ， 则，， 即 即，当最小时W最小， 原点到直线的距离为， 所以， 所以. 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与是共线向量 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】以为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B利用数量积的定义得出判断B；利用平面平面以及判断三点共线可判断C；利用向量的加减运算判断D. 【详解】对于A，设，， 则， 于是，故A正确； 对于B，因为，，所以，则夹角等于， 因为，则为锐角，由数量积的定义可知，故B错误； 对于C，因为，平面，则平面， 同理，平面，则平面， 又平面平面，故，即三点共线，故C正确； 对于D，因 ，故D错误. 10. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（ ） A. 的周长是 B. 时，的面积是 C. 的最大值是2 D. 过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C. 若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，判断数列为“友好数列”，满足即可；对于BC选项，关键是利用题设得到，再结合条件求解判断即可；对于D，关键是利用题设得到，再利用累加法，结合放缩法进行判断即可. 【详解】对于A，由，则， 对于任意的，都有， 故，所以数列是“友好数列”，故A正确； 对于B，因为数列为“超越友好数列”， 所以对于任意的，都有，即， 又，，则，即， 所以，故B正确； 对于C，因为数列为“超越友好数列”，， 所以对于任意的，都有，即， 设，则数列为单调递增数列，且， 所以， 因为，所以， 所以存在，时，，， 当时，，数列为递减数列； 当时，，数列为递增数列. 因此，数列存在最小项为，故C错误； 对于D，因为为“友好数列”， 所以对任意的，都有，即， 所以对于任意的，当时， 总有， 所以. 又， 所以. 由于，故，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知随机变量，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得. 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 14. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据外接球性质确定球心及半径，再结合等体积法得到球心到面，进而得到截面半径即可求解． 【详解】设中点为， ，， ，， 即， ，则， ， 又平面，平面， ，则， ，即， 三棱锥中均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，解得， 截面半径，面积为． 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，也符合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 16. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），下四分位数 （2）有关 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 【小问2详解】 零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 17. 如图，在四棱锥中，四边形 为正方形，G，F分别是线段 ，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面 ，，，且平面与平面夹角余弦值为，求 的长. 【答案】（1）证明：连接， 因为四边形 为正方形，G是线段 的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角余弦值的向量求法，列方程即可求得 的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面 ，平面平面， ，平面 ， 所以 平面， 过点 作，，所以平面， 又因为，所以以点 为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 取平面的法向量为， ， 设平面的法向量为 ， 则， 令，则， 因为平面与平面夹角余弦值为， 所以 ， 即， 化简得到，解得 或（舍去）， 因为 ，所以，故. 18. 已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. （1）求拋物线的方程； （2）过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）由方程，故在点处切线方程为： 方程为， 方程为方程为， 联立故解得， 同理可得 则过点与垂直的直线为：，① 过点点与垂直的直线：，② ①－②可得： 故的垂心在一定直线上 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，建立方程求解参数，从而确定抛物线方程； （2）（i）通过求导得到切线方程，联立求出交点坐标，并利用垂心定义与斜率关系推导出垂心的纵坐标为定值，证明其在定直线上；（ii）由切线交点坐标与椭圆条件建立面积表达式，结合二次函数最值求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故， 因此抛物线方程为：. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，由（i）可知：的直线方程为， 将代入可得：， 同理可得， 故的直线方程为， 联立直线与抛物线得， 由弦长公式， 为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行， 所以， 从而故的面积为： ， 当时，取得最大值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2），成立，求实数a的取值范围； （3）若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 【答案】（1）递减区间为 ，递增区间为 （2） （3）当时，，可得， 设，可得， 设，可得， 设，可得， 当时，，可得， 则在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增， 由，，， 又由 ， 因为，，可得，， 可得，，所以， 则存在唯一，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，，，则在上单调递增， 则，则存在唯一，使得 ， 当时， ，当时， ， 当 时，，可得， 在上单调递增，， ， 综上可得，函数在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 要使得与的图像有三个交点， 则， ，则， 又因为，则，则， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）求得，令，得到，分 和，两种情况讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）令，求得，令，求得，结合指数函数与三角函数的性质，求得单调递增，且，再分和，两种情况讨论，即可求解； （3）分，和 ，利用导数，结合零点的存在性定理，求得函数在上递增，在 上递减，在 上递增，求得的取值范围，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，可得，可得， 令，可得， 当 时，，可得， 即，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 则，即 ，单调递增， 所以函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：令， 可得，令， 则， 当时，，，，故 ， 当时，，，故 ， 所以当时，可得 ，单调递增，即单调递增，， 当时，，则，在上单调递增， 所以 ，所以成立，满足题意； 当时，存在，使得， 当时， ，单调递减； 当 时， ，单调递增， 当时，，不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026年高三学年第一次模拟考试 数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. C. D. 7. 某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与是共线向量 D. 10. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（ ） A. 的周长是 B. 时，的面积是 C. 的最大值是2 D. 过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C. 若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 第II卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知随机变量，，则______. 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 14. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，四边形 为正方形，G，F分别是线段 ，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面 ，，，且平面与平面夹角余弦值为，求 的长. 18. 已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. （1）求拋物线的方程； （2）过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2），成立，求实数a的取值范围； （3）若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $