专题02二元一次方程组及其解法与三元一次方程组(13大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题02二元一次方程组及其解法与三元一次方程组 知识目标 能力目标 应试目标 1.秒辨二元 / 三元一次方程（组），熟记解的定义，会检验解 2.掌握代入 / 加减消元法，吃透 “消元（多元→一元）” 核心思想 3.掌握三元一次方程组解法：三元→二元→一元 逐步消元 4.熟记两类方程组解题规范步骤，明确消元选择技巧 1.快速判定方程（组）类型，规范用消元法解二元 / 三元方程组 2.合理选择消元方式，做到计算无错、步骤完整 3.精准规避移项忘变号、消元不彻底、系数化 1 出错等高频易错点 1.基础题（选 / 填）：方程识别、解的判定、简单消元求解，零失分 2.中档题：复杂二元 / 三元方程组求解，步骤分、结果分全拿 3.综合题：含参方程组、结合代数式求值的方程组问题，快速破题 题型01.二元一次方程组的定义与解 题型02.二元一次方程组及解的判断 题型03.由方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组的特殊解法 题型07.构造方程组求解 题型08.由方程组解的情况求参数 题型09.错解复原问题 题型10.方程组相同解问题 题型11.新定义运算问题 题型12.三元一次方程组定义及解 题型13.三元一次方程组应用 解答题7题 知识点01.二元一次方程组 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 判断要点：① 整式方程；② 两个未知数；③ 未知数项次数为 1。 2. 二元一次方程组 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 常见形式: 1 标准型：（a1、b1不同时为 0，a2、b2不同时为 0） ② 混合型：（含一元一次方程，仍为二元一次方程组） 判断要点：① 共含两个未知数；② 每个方程都是整式方程；③ 未知数项最高次数为 1。 知识点02.二元一次方程组和它的解 1. 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：二元一次方程有无数个解 2. 二元一次方程组的解 定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 表示形式：用大括号联立，如 检验方法：将解代入方程组的每一个方程，若都满足（左边 = 右边），则是方程组的解；否则不是。 知识点03:代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 步骤： 1.变：将一个方程变形为 y=ax+b（或 x=ay+b）的形式； 2.代：将变形后的式子代入另一方程，消去一个未知数； 3.解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求出的值代入变形式，求出另一个未知数； 5.写：写出方程组的解 知识点04:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 步骤： 1.化：将方程组整理成标准形式 2.乘：给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等； 3.加减：将两方程相加 / 减，消去一个未知数； 4.解：解一元一次方程，求出一个未知数； 5.回代：代入原方程求另一个未知数； 6.写：写出方程组的解。 知识点05.三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 题型01.二元一次方程组的定义与解 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 【跟踪专练1】已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】.若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 【跟踪专练3】2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解应用，正确列出二元一次方程并确定其解的情况成为解题的关键． 设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出方程并求解满足条件的正整数解，然后统计解的个数即可解答． 【详解】解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件， 由题意得： 将方程变形为： 要求y为正整数，即必须能被3整除且结果大于等于1． 依次代入x的正整数值验证： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件． 其他x值代入后y均不为整数或小于1． 因此共有3种购买方案． 故选B． 题型02.二元一次方程组及解的判断 【典例】已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【跟踪专练1】适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 【跟踪专练2】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【跟踪专练3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 题型03.由方程组的解求参数 【典例】若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 【跟踪专练1】已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【跟踪专练2】已知是方程组的解，则（   ） A．2 B．0 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题解题思路是将已知的方程组解代入方程组，得到关于、的方程组，求解出、的值后，再计算的值，最后与选项进行对比得出答案． 本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握方程组的解能使方程组中每个方程都成立是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程组的解 ∴ 即 解第一个方程： 解第二个方程：， ∴ 故选：B． 题型04.代入消元法 【典例】把方程改写成用含的式子表示的形式是________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】在方程中，用含的代数式表示，得____________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可． 利用等式的基本性质，对方程进行变形即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 题型05.加减消元法 【典例】关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】若和都是方程的解，则______． 【答案】3 【分析】将和代入方程，得到关于m、n的方程组，求出方程组的解代入即可求出结果． 【详解】解：∵和都是方程的解， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练2】已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 题型06.二元一次方程组的特殊解法 【典例】已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值． 将两式相加先求出的值，再求． 【详解】解：， 由得， ， 故选：B． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 【跟踪专练2】若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 题型07.构造方程组求解 【典例】若函数与的图象交点B，则B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解两直线交点的问题，只要解出由两解析式所组的二元一次方程组即可得到两函数图象的交点坐标． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则函数与的图象交点B的坐标是， 故选：C． 【跟踪专练1】在等式中，当，；当，；则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 【跟踪专练2】如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 题型08.由方程组解的情况求参数 【典例】二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 【跟踪专练1】若关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 题型09.错解复原问题 【典例】在解关于，的方程组时，小明由于将方程（1）的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中可求出，的值，再把，的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中可得： ，解得：， 把代入中可得， ，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【跟踪专练1】甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：C． 题型10.方程组相同解问题 【典例】已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 【跟踪专练1】若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 【跟踪专练2】已知方程组和有相同的解．则的值是（    ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】A 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：根据题意，则 ， 由①+②得：6x=6， 解得：x=1， 把x=1代入①得：5+2y=3， 解得：y=-1； 把x=1，y=-1代入，则， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键． 题型11.新定义运算问题 【典例】对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 【跟踪专练1】定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 【跟踪专练2】规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 题型12.三元一次方程组定义及解 【典例】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】三元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②得：④， ②③得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入②得：， 解得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【答案】A 【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解． 【详解】解： 由②×3，得 6x+9y+3z=102④， 由④-①，得 3x+7y+2z=63⑤， 由⑤-①，得 5y+z=24， ∴a=24， 由③×3，得 3x+6y+9z=78⑥， 由⑥-①，得 4y+8z=39， ∴b=4， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 题型13.三元一次方程组应用 【典例】甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需______元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据方程组特点整体求出的和．设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，根据题意列出关于x、y、z的方程组，求出的值即可． 【详解】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元， 由题意得：， 得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件数 1 7 3 24 第二次购买件数 1 10 4 33 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需_________元钱． 【答案】6 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据：量角器铅笔橡皮元；量角器铅笔橡皮元，列方程组求解即可． 【详解】解：设购买一个量角器x元，一支铅笔y元，一块橡皮z元， 根据题意，得， ，得， ，得， ∴购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需6元钱， 故答案为：6． 【跟踪专练2】甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组． 设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． 【解答题】 1．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 2．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 3．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， r， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 4．关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)具有“友好关系”；理由见解析 (3)2 【分析】（1）根据方程组的解得 ，可判定不是“友好关系”； （2）先求方程组的解，再计算看是否满足，求解即可； （3）两式相减，再根据定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，不具有“友好关系”； （2）解：与具有“友好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ， ， 与具有“友好关系”； （3）解：， 由得，， 与具有“友好关系”， ， 解得，， 的值为2． 5．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 6．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 【答案】再过15分钟，货车追上了客车 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．要注意本题中的时间和路程之间的关系较复杂，要理清思路，找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关系，用路程之间的关系作为等量关系求解．设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②，可得到，求得与，之间的关系式，代入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中，即可求得时间． 【详解】解：设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②， 由①②可得， 化简得， 即， 所以， 假设再过分钟，货车追上客车， 则 将代入， 得， 解得：． 答：再过15分钟，货车追上了客车． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02二元一次方程组及其解法与三元一次方程组 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.秒辨二元/三元一次方 1.快速判定方程（组）类型，1.基础题（选/填）：方 程（组），熟记解的定义， 规范用消元法解二元/三 程识别、解的判定、简单 会检验解 元方程组 消元求解，零失分 2.掌握代入1加减消元 2.合理选择消元方式，做到2.中档题：复杂二元/三 法，吃透“消元（多元→ 计算无错、步骤完整 元方程组求解，步骤分、 元)”核心思想 3精准规避移项忘变号、消结果分全拿 3.掌握三元一次方程组解 元不彻底、系数化1出错3.综合题：含参方程组、结 法：三元+二元→一元逐 等高频易错点 合代数式求值的方程组问 步消元 题，快速破题 4.熟记两类方程组解题规 范步骤，明确消元选择技巧 ☆ 题型梳理 题型01.二元一次方程组的定义与解 题型02.二元一次方程组及解的判断 题型03.由方程组的解求参数 题型04.代入消元法 题型05.加减消元法 题型06.二元一次方程组的特殊解法 题型07.构造方程组求解 题型08.由方程组解的情况求参数 题型09.错静解复原问题 题型10.方程组相同解问题 题型11.新定义运算问题 题型12.三元一次方程组定义及解 题型13.三元一次方程组应用 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01.二元一次方程组 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做 二元一次方程。 一般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0) 判断要点：①整式方程；②两个未知数；③未知数项次数为1。 试卷第1页，共3页 2.二元一次方程组 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次 方程组。 常见形式： ax+by=c ①标准型： a x+by=C2 (a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0) x+y=5 ②混合型： X=2 (含一元一次方程，仍为二元一次方程组) 判断要点：①共含两个未知数；②每个方程都是整式方程；③未知数项最高 次数为1。 知识点02.二元一次方程组和它的解 1.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：二元一次方程有无数个解 2.二元一次方程组的解 定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （y=1 表示形式：用大括号联立，如x=2 检验方法：将解代入方程组的每一个方程，若都满足（左边=右边），则是方 程组的解；否则不是。 知识点03：代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转 化为一元一次方程。 步骤： L变 将一个方程变形为y=ax+b(或x=ay+b)的形式： 2.代：将变形后的式子代入另一方程，消去一个未知数； 3.解： 解一元一次方程，求出一个未知数的值： 4.回代：将求出的值代入变形式，求出另一个未知数； X三 5. 写出方程组的解y=- 试卷第1页，共3页 知识点04：加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等， 再将两方程相加/减，消去该未知数。 步骤： (ax+by=c .化： 将方程组整理成标准形式a2x+b,y=G2 2.乘： 给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等； 3.加减：将两方程相加/减，消去一个未知数 4解：解一元一次方程，求出一个未知数 5.回代：代入原方程求另一个未知数： 65: 写出方程组的解。 知识点05.三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做 三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d(a、b、c、d为常数，a≠0，b≠0，c≠0)。 2.三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程 组。 aix+b1y+ciz=di 一般形式： a2x+b2y+c2之=d2(系数不全为0) a3x+b3y +c3z d3 3.解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二 元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤 ①消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组： 试卷第1页，共3页 ②解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值： ④写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 ☆ 题型精析 身年标和德。想细增标年综标 题型01.二元一次方程组的定义与解 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是() A.2x2-3y=0B.3x+2y=1 C.y=2 D.y=3 【跟踪专练1】已知 x=2 y=-1 是二元一次方程ax+by+1=0的一组解，则2a-b+2024= 【跟踪专练2】.若(m+1)x+5ym2=2(3-m)是关于x,y的二元一次方程，则m的值是 【跟踪专练3】2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发 青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买 了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元， 则有()种购买方案 A.2 B.3 C.4 D.5 题型02.二元一次方程组及解的判断 (m-8)x=2 【典例】己知方程组 3r-ym7=1 是关于x,y的二元一次方程组，则= 【跟踪专练1】适合二元一次方程2x+y=0和2x-y=4的部分x,y值分别如表1、表2所示， 2x+y=0 则方程组 的解是() 2x-y=4 表1 0 2 0 -2 -4 表2 X -1 0 2 -6 -2 0 试卷第1页，共3页 x=-1 x=0 x=1 A B. y=2 y=-4 C. y=-2 【跟踪专练2】下列方程组中，二元一次方程组有() 4x+y=2 2x-y=1。「x=3 x-2y2=3 x-2y=-3:② ① 少+2=1：⑧ y-5=0:④ x+3y=11 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 x+y=1 【跟踪专练3】己知二元一次方程组 米 的解是 =a,则*表示的方程可能是() x=-1 A.2x-y=3 B.x+y=4 C.2x+3y=-4 D.x-y=-3 题型03.由方程组的解求参数 x=1 ax+y=3 【典例】若 y=2 是二元一次方程组 x+9=4的解，则a+2b的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2x+y=○】 x=2 【跟踪专练1】己知方程组 的解为 则被“o”和“△”遮盖的两个数的和为 x+y=3 y=A x=1 【跟踪专练2】已知 是方程组 ax+y=1 y=2 2x-by=0 的解，则a+b=() A.2 B.0 C.4 D.-4 题型04.代入消元法 【典例】把方程7x-5y=2改写成用含x的式子表示y的形式是 【跟踪专练1】在方程2x-3y=8中，用含x的代数式表示y,得y= 【跟踪专练2】己知关于x,y的方程组 x+y=2a+1 2x-y=7-a ,下列说法中正确的有()个. ①当x=y时，。=片；②当x≥2y时，的最小值为2，③a取任意实数，5x-y的值始终 不变；④不存在实数a,使2x=3y成立. A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第1页，共3页 题型05.加减消元法 2x+y=-13+a 【典例】关于x、y的方程组 x+2y=1-a ，则x+y的值为 x=2 x=1 【跟踪专练1】若 y=-3 和{=-3都是方程mr+n=y的解，则2m-1= x+3y=1-4a 【跟踪专练2】己知关于x、y的方程组 得出以下结论：①当a=0时，方程 2x-y=a+9 组的解也是方+y=3的解，②当=少时，a=一背：@不论a取什么实数。9x+y的值始 终不变；④不存在a使得9x-y=0成立；其中正确的是（) A.①② B.①④ C.①②③ D.①②④ 题型06.二元一次方程组的特殊解法 x+2y=11 【典例】已知x,y满足方程组 2x+y=4’ 则x+y的值为() A.3 B.5 C.6 D.7 ax+2b=y x=1 a2x-1)+2b+1=y 【跟踪专练1】已知二元一次方程组 3ax+b=y 的解为 =3那 3a(2x-1+b=y-1的 解为 x=4 【跟踪专练2】若方程组 (a,x+bhy=G的解 azx+bay=c2 y=-2'则方程组 3a,x+2hy=a-G的解 3ax+2bay=a-cz 是() x=-1 x=-1 A 3 y=1 y=-1 y=1 题型07.构造方程组求解 【典例】若函数y=2x+3与y=3x-2的图象交点B,则B的坐标是() A.(0,3 B.(0,-2 C.5,13 D.13,5 【跟踪专练1】在等式y=kx+b中，当x=1,y=-2;当x=-1,y=-4;则当x=2时， y的值为· 【跟踪专练2】如果5x3m--2y”-m+11=0是二元一次方程，那么() 试卷第1页，共3页 A.m=1,n=2 B.m=2,n=1 C.m=3,n=4 D.m=-1,n=2 题型08.由方程组解的情况求参数 4x+3y=7 【典例】二元一次方程组 ar+(a-ly=3的解中，x与y的值相等，则a=() A.1 B.2 C.3 D.4 2x+y=2m-1 【跟踪专练1】若关于x,y的方程组 x+2y=m-4的解满足x-y=6,则m= x+2y=-a+1 【跟踪专练2】己知关于x,y的二元一次方程组 (a是常数)，若不论a取 x-3y=4a+6 什么实数，代数式x-y(k是常数)的值始终不变，则k的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 题型09.错解复原问题 【典例】在解关于x,y的方程组 ax-2by=81 时，小明由于将方程(1)的“-”，看成了 2x=by+2(2) x=2 “+”,因而得到的解为 y=1 则原方程组的解为() x=1 x=-2 x=2 x=2 A y=2 y=-3 y=2 y=1 ax+5y=15① 【跟踪专练1】甲乙两人共同解关于x,y的方程组 由于甲看错了方程①中 4x-by=-2② x=-3 x=5 的a,得到方程组的解为 y=-1’ 乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为 y=4 则关于 ax+5y=15① x,y的方程组 4x-y=-2@的正确解为 cr+7y=3时，甲同学正确地解出 ax+by=2 x=-1 【跟踪专练2】两位同学在解方程组 乙同学因 把c抄错了解得 x=-3 y=-2'则ab、c正确的值应为() 试卷第1页，共3页 A.a=-3,b=-1,c=-5 B.a=1,b=-l,c=-5 C.a=2,b=-4,c=-10 D.a=3,b=1,c=-5 题型10.方程组相同解问题 5x+y=3 【典例】己知方程组 「5x+by=1 ar+5y=4与x-2y=5有相同的解，则a,b的值为（) a=1 a=-4 a=-6 a=14 A B. D. b=2 1b=-6 C.1b=2 b=2 【跟踪专练1】若关于x,y的方程组 -=5与关于x,y的方程组 3x-y=1 ax+by=3 x-3y=-2有相同 的解，则a=，b= 5x+2y=3m「x-2y=3 【跟踪专练2】己知方程组 和 有相同的解.则√ā-b的值是() ax+5y=4 5x+by=1 A.-1 B.1 C.5 D.13 题型11.新定义运算问题 【典例】对于x、y定义一种新运算“※”：x※y=ax-by,其中a、b为常数，等式右边是 通常的乘法和减法的运算.已知：2※1=7,1※(-3)=7，求5※3的值· 【跟踪专练1】定义：数对(x,y)经过运算p可以得到数对(x,y,记作px,y)=(x,y, 其中 Y=a+（ab为常数).如当a=1,b=1时，p(-2,3到=，-5. y'=ax-by (1)当a=2,b=1时，p1,0)= (2)若02,1=(0,4)，则a=,b= 【跟踪专练2】规定：关于x,y的两个方程x+y=b与x+y=b互为共轭二元一次方程， x+ky= 其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 ,叫作共轭方程组.若关于x,y的方程组 kx+y=b x+(2a-b)y=2b-a (a+6)x+y=b-2a 为共轭方程组，则Q,b的值分别为() A.3,-3 B.4,3 C.5,-5 D.3,2 试卷第1页，共3页 题型12.三元一次方程组定义及解 【典例】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是() x+y-z=6 x+y=3 A. x-3y+2z=1 B.{y+z=5 3x+2y-z=4 x+z=6 x+y-z=6 [x+6y=3 C. x+2z=1 D 3y+x=5 2y-z=4 x+2y=6 x+2y-z=-3 【跟踪专练1】三元一次方程组{x+y+z=2的解为 z-x+y=0 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除” 3x+2y+z=39 的算法解方程组.比如对于方程组 2x+3y+z=34,将其中数字排成长方形形式，然后执 x+2y+3z=26 行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第 一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似.其本质就是在消元.那 么其中的a,b的值分别是() 321393213932139 23134→693102→…→051a 12326→… →0b839 A.24,4 B.17,4 C.24,0 D.17,0 题型13.三元一次方程组应用 【典例】甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1 件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元. 【跟踪专练1】小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下 表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件 3 24 数 试卷第1页，共3页 第二次购买件 10 33 垂 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需 元钱 【跟踪专练2】甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记 本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元.乙艺术中心采 购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字 笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同，三家艺术中心采购总费用 为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（) 元 A.237 B.350 C.425 D.901 【解答题】 1.己知关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数)，且b=a+1,c=a+2. 当=时，求c的值 y=3 (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a,b,c的值和方程的正整数解. x=2 ax-by =3 2.已知 是二元一次方程组 的解，求a+2b的值. y=1 3ax+2by =8 3(2x+y)-2(x-2y)=26 3.解方程组 2(2x+列+3x-2列=13时若设2x+y=m，x-2y=n,则原方程组化为 3m-2n=26 m=8 2x+y=8 x=3 2m+3n=13 ,解得 n=-1' 所以 x-2y=-1解得 我们把某个式子看成一个整 体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法 x+y_x-Y=4 (1)知识迁移：请用这种方法解方程组 23 2(x+y)+x-y=16 ax+by=G的解为 x=4 (2)拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组 ax+b2y=C2 y=-3求关于x, 的方程组 2a,x+3by=50的解。 2a2x+3b2y=5c2 4.关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y满足x-y=1,我们就说方程组的 试卷第1页，共3页